¿Cuál es el número de formas de elegir cuatro cartas del mismo palo cuando se seleccionan cuatro cartas de una baraja estándar de $52$ ¿jugando a las cartas?
Método 1: Para tener éxito, debemos elegir cuatro de los trece palos o cuatro de los trece diamantes o cuatro de los trece corazones o cuatro de las trece picas, lo que puede hacerse en $$\binom{13}{4} + \binom{13}{4} + \binom{13}{4} + \binom{13}{4} = 4\binom{13}{4}$$ formas.
¿Por qué añadimos?
El Principio de adición establece que si hay $m$ formas de realizar una tarea y $n$ formas de realizar otra tarea que no se puede hacer al mismo tiempo, entonces el número de formas de realizar una de las tareas es $m + n$ .
En este caso, podemos elegir cuatro tréboles o cuatro diamantes o cuatro corazones o cuatro picas. Como estas tareas son mutuamente excluyentes (no pueden realizarse al mismo tiempo), sumamos el número de formas en que puede realizarse cada tarea.
La palabra o es una indicación de que necesita añadir.
Método 2: Para tener éxito, debemos elegir uno de los cuatro palos y cuatro de las trece cartas de ese palo en $$\binom{4}{1}\binom{13}{4}$$ formas.
¿Por qué nos multiplicamos?
El Principio de multiplicación establece que si una tarea puede realizarse en $m$ maneras y una segunda tarea puede ser realizada independientemente de la primera en $n$ maneras, entonces hay $mn$ formas de realizar ambas tareas.
En este caso, elegimos un palo y luego elegimos cuatro cartas de ese palo. Como el número de formas en que podemos elegir cuatro cartas del palo elegido es independiente de la elección del palo, multiplicamos el número de formas en que se puede realizar cada tarea.
La palabra y es una indicación de que hay que multiplicar.
¿Cuál es el número de formas de elegir cuatro cartas de diferentes palos cuando se seleccionan cuatro cartas de una baraja estándar de $52$ ¿tarjetas?
Debemos elegir uno de los trece palos y uno de los trece diamantes y uno de los trece corazones y uno de las trece picas, lo que puede hacerse en $$\binom{13}{1}\binom{13}{1}\binom{13}{1}\binom{13}{1}$$ formas.
Obsérvese que cada una de las cuatro tareas se realiza independientemente de las demás, por lo que multiplicamos el número de formas en que se puede realizar cada tarea.
¿Cuál es el número de formas de elegir dos cartas rojas y dos negras cuando se seleccionan cuatro cartas de una baraja estándar de $52$ ¿jugando a las cartas?
Debemos seleccionar dos de las veintiséis cartas rojas y dos de las veintiséis negras, lo que puede hacerse en $$\binom{26}{2}\binom{26}{2}$$ formas.
Obsérvese que cada tarea se realiza independientemente de la otra, por lo que multiplicamos el número de formas en que se puede realizar cada tarea.
¿Por qué su respuesta es incorrecta?
Primero seleccionó $26$ de la $52$ cartas de la baraja, y luego se multiplica por el número de formas de seleccionar dos de esas $26$ tarjetas de uno de los colores. Sin embargo, $\binom{52}{26}$ es el número de formas de seleccionar cualquier $26$ cartas del mazo (que no tienen por qué ser todas del mismo color). En cambio, debería haber elegido todas $26$ cartas de ese color y luego elegir dos cartas de ese color para cada color, lo que puede hacerse en $$\binom{26}{26}\binom{26}{2} = \binom{26}{2}$$ formas.
Además, hay que hacerlo para las cartas rojas y las negras, por lo que hay que multiplicar el número de formas de hacerlo para cada color.
