¿Pueden 3 variables aleatorias tener correlación por pares -1?

Question

¿Pueden 3 variables aleatorias X, Y, Z tener correlación por pares -1?

Parece una pregunta fácil, pero me he confundido con esto.

Answer 1

No: si $X,Y,Z$ son sus variables, entonces como $corr(X,Y)=-1$ , primero $Var \ X\neq 0$ y luego

$$ Var\left(\frac X{\sqrt{Var \ X}}+ \frac Y{\sqrt{Var\ Y}}\right) = 2 + 2corr(X,Y)=0 $$ Entonces $$ \frac X{\sqrt{Var \ X}} = - \frac Y{\sqrt{Var\ Y}} = + \frac Z{\sqrt{Var\ Z}} = - \frac X{\sqrt{Var \ X}} $$ por simetría, entonces $X=0$ . Pero es imposible porque $Var \ X>0$ .

Si se sustituye la correlación por la covarianza, entonces es posible: por ejemplo, cualquier vector gaussiano con matriz de varianza $\bigl(\begin{smallmatrix} 8 &-1&-1\\ -1 & 8&-1\\ -1&-1&8 \end{smallmatrix} \bigr)$ (porque dicha matriz tiene $>0$ valores propios).