Ley del logaritmo iterado Implicación del límite superior

Question

Supongamos que la Ley del Logaritmo Iterado tiene un límite superior \begin{equation} \limsup_{t\to \infty} \frac{B_t} {\psi(t)} \leq 1 \end{equation} se mantiene (casi seguro). Ahora he visto en una prueba del límite inferior que para $t$ lo suficientemente grande \begin{equation} B_t \geq -2 \ \psi(t) \end{equation} es cierto debido al límite superior mencionado anteriormente. ¿Puede alguien explicarme esto? ¿Por qué no podría $B_t \geq - \psi(t)$ ¿se mantiene?

Recordemos que $\psi(t) = \sqrt{2t\log \log t}$ .

Answer 1

Recordemos que por la definición de supremacía del límite, tenemos $$\limsup_{t\to\infty} f(t) \leq M \iff \left(\forall \epsilon > 0, \exists T : t > T \implies f(t) \leq M + \epsilon\right)$$ En particular, hay que tener en cuenta que no puede concluir $f(t) \leq M$ para cualquier $t.$ (por ejemplo, observe que $\limsup_{n\to\infty} 1 + \frac{1}{n} \leq 1$ )

En su contexto, esto significa que podemos establecer $\epsilon = 1$ para ver que para $t$ lo suficientemente grande, $$\frac{B_t}{\psi(t)} \leq 1 + 1 = 2 \implies B_t \leq 2\psi(t)$$ casi seguro.

Entonces, como $-B_t$ es un movimiento browniano, podemos sustituir $B_t$ con $-B_t$ para concluir $$-B_t \leq 2\psi(t) \iff B_t \geq -2\psi(t)$$ casi seguramente, por $t$ lo suficientemente grande.