Actualización bayesiana para un valor de calificación discreto

Question

Tengo un artículo para el que voy recogiendo poco a poco valores de puntuación en una página web. Se trata de un elemento de película en un sitio web y al principio no tiene calificación pero le asigno una previa gaussiana $N(\mu_0, \sigma_0^2)$ . Una persona entra en la página web y le da 4 de 5 (tenga en cuenta que sólo tengo valoraciones discretas de 1, 2, 3, 4 y 5 estrellas)

Mi pregunta es cómo puedo actualizar mi prior ahora y obtener una distribución posterior para la media de las estrellas.

Mi segunda pregunta es que digamos que considero la mediana de las puntuaciones como la puntuación final que quiero mostrar a la gente para esa película ¿cómo puedo hacer mi actualización entonces? Me imagino que también tengo que formar un previo discreto.

Y mi última pregunta es que si quisiera asignar un peso a cada calificación y encontrar la media ponderada y la mediana ¿cómo puedo hacerlo?

Puede que sean preguntas fáciles, pero estoy muy confundido al respecto. Si conoces algún libro o artículo que haya tratado un problema similar, te agradecería que me remitieras a él.

Answer 1

Aquí se sugirió una estrategia general para obtener un conocimiento inicial de los métodos bayesianos La conexión entre la estadística bayesiana y la modelización generativa y aquí Metanálisis bayesiano de la desviación estándar residual mediante BUGS

Lo que sigue es un esbozo de eso para esta pregunta - donde creo que funciona bastante bien - al menos para mí;-)

# Set of values that may become known (the rating from 1:5)
Knowns<-1:5
# A probability generating model for one such known (all equal probability)
sample(1:5,size=1,prob=c(.2,.2,.2,.2,.2))
# The possible unknowns that need to be _used_ to generate one such possible known
# First an example
PossibleUnknown<-c(.2,.2,.2,.2,.2)
sample(1:5,size=1,prob=PossibleUnknown)
# Note the unknowns here are the probabilities of a rating of 1,2, ... 5 and the known is the first rating given

# Getting a probability distribution for the possible unknowns (a prior distribution)
# Not immediate because its has 5 elements in 4 dimensions (as the probabilities must sum to 1)
# Fortunately Bayesians have one we can start with
library(MCMCpack) # Just used to get the prior
(PossibleUnknown<-rdirichlet(1,rep(1,5) ))
sum(PossibleUnknown)

# OK now using the two stage conceptualiaztion of Bayes by Don Rubin 1984 it is direct and transparent

# Number of MC smaples to generate
reps<-1000000
# Sample from prior of Possible UnknownS
PossibleUnknowns<-rdirichlet(reps,rep(1,5))
# Sample rating from data generating model for each Possible Unknown above
PossibleKnowns<-apply(PossibleUnknowns,1,function(x) sample(Knowns,size=1,prob=x) )
PossibleJoints<-cbind(PossibleUnknowns,PossibleKnowns)
head(PossibleJoints)

# The sample from the Posterior if 1st rating is 5 
# (those Possible Unknowns that generated PossibleKnowns = 5)
ConditionalUnknowns<-PossibleUnknowns[PossibleKnowns==5,]

# Plot prior and posterior marginals (separate rating probabilities) to _see_ whats going on
par(mfrow=c(2,2))
for(i in 2:5) hist(PossibleUnknowns[,i],main=paste("Rating of",i),xlab="PossibleUnknown\n(probabilities)")
for(i in 2:5) hist(ConditionalUnknowns[,i],main=paste("Rating of",i),xlab="PossibleUnknown\n(probabilities)")

# Calculate marginal or expected probability for each rating separately
# Prior probabilities
apply(PossibleUnknowns,2,mean)
# Posterior probabilities
apply(ConditionalUnknowns,2,mean)
# A good guess at the prior probablities??
rep(1,5)/sum(rep(1,5))
# A good guess at the posterior probablities??
(rep(1,5) + c(0,0,0,0,1))/sum((rep(1,5) + c(0,0,0,0,1)))

# So if the next rating is a 5
(rep(1,5) + c(0,0,0,0,2))/sum((rep(1,5) + c(0,0,0,0,2)))
# Easy to directly check as for the second rating its prior is the posterior from 1st rating
PossibleUnknowns<-ConditionalUnknowns
PossibleKnowns<-apply(PossibleUnknowns,1,function(x) sample(Knowns,size=1,prob=x) )
ConditionalUnknowns<-PossibleUnknowns[PossibleKnowns==5,]
# Posterior probabilities
apply(ConditionalUnknowns,2,mean)
# Not bad
(rep(1,5) + c(0,0,0,0,2))/sum((rep(1,5) + c(0,0,0,0,2)))
# OK now read wiki dirichlet for the math
# Now the above was not just a warm exercise as for instance if you want to 
# use different priors, perahps an empirical prior based on past ratings of 
# films of the same genre - you now know how to do that! 

# Now the mean rating if you are interested in that is the sum of probability of rating * rating
# Prior mean rating 
sum( rep(1,5)/sum(rep(1,5)) * Knowns )
# Posterior mean rating given first rating was a 5
 sum( (rep(1,5) + c(0,0,0,0,1))/sum((rep(1,5) + c(0,0,0,0,1))) * Knowns )