Invariancia de Galilei y tercera ley de Newton

Question

Digamos que tenemos un sistema de dos partículas puntuales que pueden interactuar entre sí mediante fuerzas que dependen de la posición y la velocidad. Las fuerzas pueden o no derivarse de un potencial generalizado.

Suponiendo la isotropía del espacio y la homogeneidad del espacio y el tiempo, ¿cuáles son las restricciones impuestas a las posibles fuerzas entre las partículas? En particular, ¿puede "derivarse" la tercera ley de Newton en tales condiciones?

Answer 1

$\def\br{{\bf r}} \def\bF{{\bf F}}$ Considere el siguiente sistema. Dos partículas, masas iguales, sin fuerzas externas. Fuerza que actúa sobre la partícula nº 1 (debida a la partícula nº 2): $$\bF_1 = k_1 (\br_2 - \br_1).$$ Fuerza que actúa sobre la partícula #2 (debida a la partícula #1): $$\bF_2 = k_2 (\br_1 - \br_2).$$

Se puede comprobar que este sistema satisface

• isotropía del espacio (cada fuerza se dirige siempre hacia la otra partícula)
• homogeneidad del espacio (una traslación del sistema deja fuerzas invariantes)
• homogeneidad del tiempo (las fuerzas no dependen del tiempo).

Sin embargo, la tercera ley de Newton no se cumple si $k_1\ne k_2$ . El momento total no se conserva, com se acelera...

¿Cómo puede ser? La cuestión es que @AbhimanyuPallaviSudhir está equivocado: la conservación del momento no es equivalente a la invariancia traslación. O, para ser más precisos: no es equivalente a la invariancia de traslación de las fuerzas - se requiere la invariancia del Lagrangiano es necesaria. Sólo si existe un lagrangiano invariante se puede demostrar el teorema de Noether.

Pero el sistema que he definido no admite ningún lagrangiano. En realidad sus fuerzas no derivan de un potencial.