Estoy trabajando en un antiguo examen de álgebra lineal, y he estado mirando esta pregunta: Si $M_1,M_2$ son módulos y $N_1 \subset M_1$ y $N_2 \subset M_2$ son submódulos, demuestre que $(M_1 × M_2)/(N_1 × N_2)$ es isomorfo con $M_1/N_1 × M_2/N_2$ . Obviamente, una forma de hacerlo es definir un isomorfismo entre ambos, pero como es una cuestión tan pequeña me preguntaba si hay una forma más rápida de resolverlo. Parece mucho trabajo demostrar la subjetividad de la definición y la inyectividad para una cuestión tan pequeña.
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Denota por $\pi_i \colon M_i \rightarrow M_i / N_i$ y considerar el mapa $\psi \colon M_1 \times M_2 \rightarrow M_1 / N_1 \times M_2 / N_2$ dado por $\psi(m_1,m_2) = (\pi_1(m_1), \pi_2(m_2))$ . Este mapa es claramente lineal y onto con núcleo
$$ \ker(\psi) = \{ (m_1, m_2) \, | \, \pi_1(m_1) = \pi_2(m_2) = 0 \} = \{ (m_1, m_2) \, | \, m_1 \in N_1, m_2 \in N_2 \} = N_1 \times N_2 $$
y así por el primer teorema del isomorfismo se obtiene
$$ (M_1 \times M_2) / (N_1 \times N_2) = (M_1 \times M_2) / \ker(\psi) \approx \operatorname{im}(\psi) = M_1 / N_1 \times M_2 / N_2. $$
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Si no quieres usar teoremas de álgebra que básicamente dan tu resultado, tienes que hacerlo como dices. Defines $$ \phi:(x,y)+N_1\times N_2\longmapsto (x+N_1,y+N_2). $$ Tenga en cuenta que \begin{align} (x,y)+N_1\times N_2=(0,0)+N_1\times N_2&\iff x\in N_1\ \text{ and } y\in N_2\iff(x,y)\in N_1\times N_2\\ \ \\ &\iff (x+N_1,y+N_2)=N_1\times N_2. \end{align} Esta implicación demuestra tanto que $\phi$ está bien definida y es inyectiva.
La subjetividad y la linealidad son triviales.
