Buscaba una forma cerrada pero me parecía demasiado difícil. Ahora busco ayuda para simplificar esta suma. Los 50 puntos de recompensa o más serán otorgados por cualquier simplificación significativa de esta suma.
Encontré esta función que tiene una propiedad muy interesante para mostrar si $n \nmid x$ . Y la suma de esta función de $2$ a $N$ puede mostrar todos los primos dentro de $N$ en 1, y los primos más allá de $n$ y dentro de $N^2$ como ceros, y el tamiz primario más allá $$ f(n,x)=\frac{1}{n}F_n\left(\frac{2\pi}{n}x\right)=\frac{1}{n^2}\left(\frac{1-\cos(2\pi x)}{1-\cos\left(\frac{2\pi}{n}x\right)}\right)=\frac{1}{n^2}\left(\frac{\sin(\pi x)}{\sin\frac{\pi x}{n}}\right)^2 $$ Se trata de una función de prueba de primer orden y trato de encontrar una fórmula de forma cerrada para simplificar el cálculo de $$\sum_{n=2}^Nf(n,x)=\sum_{n=2}^N\frac{1}{n^2}\left(\frac{\sin(\pi x)}{\sin\left(\frac{\pi x}{n}\right)}\right)^2=\sum_{n=2}^N\frac{1}{n^2}\sin^2(\pi x)\csc^2\left(\frac{\pi x}{n}\right)$$ ¿Existe una fórmula de forma cerrada (es decir, sin o con pocos términos de suma) para esta suma? Se sabe que $$\int_{2}^{N} f(t,x)dt=\sin^2(\pi x)\int_{2}^{N}\frac{1}{t^2}\csc^2\left(\frac{\pi x}{t}\right)dt=\left. \left(\frac{1}{\pi x}\sin^2(\pi x)\cot\left(\frac{\pi x}{t}\right) \right)\right|_{t=2}^{t=N}$$ ¿El Fórmula de suma de Euler-Maclaurin ¿ayuda aquí?
Este es el gráfico de ejemplo de $\sum_{n=2}^{50}f(n,x)$ muestra todos los primos dentro de $2500$ . 
