Dejemos que $X=\{a,b,c,d\}$ . Encuentre el componente conectado $C(a)=\bigcup \{A \mid a \in A , A \subset X, \text{$ A $ connected}\}$ .

Question

Dejemos que $X=\{a,b,c,d\}$ y $\tau=\{\emptyset, \{a,b\}, \{a,b,c\}, \{c,d\}, X\}$ . Encuentre el componente conectado $C(a)=\bigcup \{A \mid a \in A , A \subset X, \text{$ A $ connected}\}$ .

Estoy tratando de construir una intuición para los componentes conectados de un espacio topológico y tengo problemas para determinar si un subconjunto de un espacio $X$ está conectado.

Sé que un espacio es conexo si para algunos no vacíos $U,V \in \tau$ tenemos que $U \cap V =X$ y $U \cap V = \emptyset$ .

En este caso creo que debería considerar conjuntos $\{a\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{a,b,c\}, \{a,c,d\}, \{a,b,d\}, \{a,b,c,d\}$ . Creo que estos cubren todos los subconjuntos de $X$ con $a$ arreglado ya que hay $2^{n-1}$ subconjuntos de un conjunto con un elemento fijo.

Pero no sé cómo comprobar si estos conjuntos están conectados. Un subespacio parece estar conectado si está conectado en su topología relativa, pero ¿cuál es la topología relativa de estos subconjuntos de todos modos aquí?

¿Son las topologías relativas aquí $$\tau_{\{a\}}=\{\emptyset, \{a\}\} \\\tau_{\{a,b\}}=\{\emptyset, \{a,b\}\} \\\tau_{\{a,c\}}=\{\emptyset,\{a\}, \{a,c\}, \{c\}\}\\ \tau_{\{a,d\}}=\{\emptyset, \{a\}, \{a,c\}, \{c\}\} \\ \tau_{\{a,b,c\}}=\{\emptyset, \{a,b\},\{a,b,c\}, \{c\}\} \\ \tau_{\{a,c,d\}}=\{\emptyset, \{a\},\{a,c\},\{c,d\}\} \\ \tau_{\{a,b,d\}} = \{\emptyset,\{a,b\},\{d\}\}$$ y para el último conjunto $\{a,b,c,d\}$ la topología sería simplemente $\tau$ ya que es el conjunto universal.

Answer 1

"Sé que un espacio es conexo si para algunos no vacíos $U,V \in \tau$ tenemos que $U \cap V =X$ y $U \cap V = \emptyset$ ."

Atención: hay un error, debería serlo: $U,V \in \tau$ tenemos que $U \cup V =X$ y $U \cap V = \emptyset$

Y para encontrar el componente conectado $C(a)$ se le debe dar una topología $\tau$ ¿Cuál es la topología en X en tu ejercicio?

Answer 2

Un conjunto/espacio $A$ es desconectado cuando podemos escribirlo como $A=U \cup V$ donde $U,V$ son no vacíos, (relativamente) abiertos y disjuntos. Siendo conectado se define entonces simplemente como no desconectado. Esto es una corrección a sus afirmaciones en la pregunta.

Al observar todos los subconjuntos de $X$ que contienen $a$ es ciertamente una opción (ya que el conjunto es finito), pero observemos primero que $X$ no está conectada, como lo demuestra $U=\{a,b\}, V=\{c,d\}$ . Así que los subespacios conectados deben ser más pequeños que $X$ . En su lista de topologías subespaciales vemos que $\{a,b,d\}$ tiene una desconexión $U=\{a,b\}, V=\{d\}\}$ por lo que tampoco está conectado y $\{a,b,c\}$ tampoco lo es.

$\{a,b\}$ tiene la topología indiscreta como topología del subespacio, por lo que está conectado. Es claramente maximal por las consideraciones anteriores por lo que la componente de $a$ (y $b$ también) es $\{a,b\}$ .