Prueba de que los operadores de potencial rotacional simétrico son operadores escalares

Question

Definición: Un operador escalar B es un operador sobre un espacio ket que se transforma bajo rotaciones \begin{equation}\left| \xi ' \right >=\exp{(\frac{i}{h} \mathbf{\phi \cdot J})}\left| \xi \right >\end{equation} de tal manera que \begin{equation}\left< \xi ' |B| \psi'\right>=\left< \xi |B| \psi\right>\end{equation}

He demostrado que un operador B es un operador escalar si y sólo si $0=[J_i,B]$

Lo que me gustaría mostrar a continuación es que el Hamiltoniano $H=\frac{\mathbf{P}^2}{2m}+V$ es un operador escalar para "operadores de potencial simétrico rotacional".

Lamentablemente tengo dificultades conceptuales con este potencial operador y encuentro muy malo el tratamiento en todos los libros de texto que he leído hasta ahora. La mayoría no habla del operador de potencial que actúa sobre los kets, sino de una representación de base de este operador que actúa sobre una función de onda, sin incluso utilizar una notación diferente para ambos. Además no puedo extender el concepto de simetría rotacional que conozco de la mecánica clásica a este operador abstracto V. Sin embargo, según mi hoja de ejercicios el resultado anterior debería ser correcto.

Esta pregunta está relacionada con la pregunta sin respuesta ¿Es la energía potencial un operador escalar?

Answer 1

Gracias a los comentarios de seguridad del usuario @knzhou, anoche descubrí cómo hacerlo. Usando el teorema anterior es suficiente para demostrar \begin{equation} 0=[\mathbf{J},H]=[\mathbf{J},\frac{\mathbf{P}^2}{2m}+V(\mathbf{X})] \end{equation} El primer término del conmutador es trivialmente cero. Pero hay que demostrar que \begin{equation} 0\stackrel{\text{!}}{=}[\mathbf{J},V(\mathbf{X})]=[\mathbf{X}\times\mathbf{P},V(\mathbf{X})] \end{equation} Utilizando el mapa biyectivo definido en Aplicación de un operador a una función frente a un vector (ket) basta con demostrar que para cualquier Estado $\left|\boldsymbol{\psi}\right> $ \begin{equation} 0=\left<\mathbf{x}|[\mathbf{X}\times\mathbf{P},V(\mathbf{X})]|\boldsymbol{\psi}\right> =\left<\mathbf{x}|\mathbf{X}\times\mathbf{P}V(\mathbf{X})-V(\mathbf{X})\mathbf{X}\times\mathbf{P}|\boldsymbol{\psi}\right>\\ =\int \mathbf{dx'}\left(\left<\mathbf{x}|\mathbf{X}\times\mathbf{P}|\mathbf{x'}\right>\left<\mathbf{x'}|V(\mathbf{X})|\boldsymbol{\psi}\right>-\left<\mathbf{x}|V(\mathbf{X})|\mathbf{x'}\right>\left<\mathbf{x'}|\mathbf{X}\times\mathbf{P}|\boldsymbol{\psi}\right>\right) \end{equation} Ahora suponemos que cualquier potencial $V(\mathbf{X})$ que estamos tratando se puede ampliar en términos del operador de posición $\mathbf{X}$ como \begin{equation} V(\mathbf{X})=\sum v_i \mathbf{X}^i \end{equation} Además se supone que los coeficientes del potencial son reales, por lo que utilizando que el operador de momento $\mathbf{X}$ es hermitiana se puede deducir que $V(\mathbf{X})$ también es hermitiana. Ahora es fácil ver que \begin{equation} \left<\mathbf{x}\right|V(\mathbf{X})=\sum v_i \left<\mathbf{x}\right|\mathbf{X}^i=\sum v_i \left<\mathbf{x}\right|\mathbf{x}^i=V(\mathbf{x}) \end{equation} Esto es muy útil para evaluar la integral anterior, continuando esta ecuación \begin{equation} 0\stackrel{\text{!}}{=}\int \mathbf{dx'}\left(\left<\mathbf{x}|\mathbf{X}\times\mathbf{P}|\mathbf{x'}\right>V(\mathbf{x})\left<\mathbf{x'}|\boldsymbol{\psi}\right>-V(\mathbf{x})\left<\mathbf{x}|\mathbf{x'}\right>\left<\mathbf{x'}|\mathbf{X}\times\mathbf{P}|\boldsymbol{\psi}\right>\right)\\ =\int \mathbf{dx'}\epsilon_{ijk}\left(\left<\mathbf{x}|X_jP_k|\mathbf{x'}\right>V(\mathbf{x})\psi(\mathbf{x'})-V(\mathbf{x})\left<\mathbf{x}|X_jP_k|\mathbf{x'}\right>\left<\mathbf{x'}|\boldsymbol{\psi}\right>\right)\\ =\int \mathbf{dx'}\epsilon_{ijk}\left(\left<\mathbf{x}|X_jP_k|\mathbf{x'}\right>V(\mathbf{x})\psi(\mathbf{x'})-V(\mathbf{x})\left<\mathbf{x}|X_jP_k|\mathbf{x'}\right>\psi(\mathbf{x'})\right) \end{equation} Donde utilizamos la definición de la función de onda $\psi(\mathbf(x'):=\left<\mathbf{x'}|\boldsymbol{\psi}\right>$ y el producto escalar y la relación de integridad de los eigenkets de posición. Ahora observamos \begin{equation} \left<\mathbf{x}|X_jP_k|\mathbf{x'}\right>=x_j\left<\mathbf{x}|P_k|\mathbf{x'}\right>=x_jih\frac{\partial}{\partial x'_k}\delta(x-x') \end{equation} Después de hacer la "integración parcial" se concluye \begin{equation} 0\stackrel{\text{!}}{=}\epsilon_{ijk}x_j\left(\frac{\partial}{\partial x_k}(V(\mathbf{x})\psi(\mathbf{x}))-V(\mathbf{x})\frac{\partial}{\partial x_k}\psi(\mathbf{x})\right)\\ =\epsilon_{ijk}x_j\psi(\mathbf{x})\frac{\partial}{\partial x_k}V(\mathbf{x}) \end{equation} Ahora utilizamos que nuestro potencial no es arbitrario sino $V(\mathbf{x})=V(||\mathbf{x}||_2)$ . \begin{equation} 0\stackrel{\text{!}}{=}\epsilon_{ijk}x_j\psi(\mathbf{x})\frac{\partial}{\partial x_k}V(||\mathbf{x}||_2)=\epsilon_{ijk}x_jx_k\psi(\mathbf{x})\frac{V(||\mathbf{x}||_2)}{||\mathbf{x}||_2}=0 \end{equation} Lo que concluye la prueba.