Demostrar que no está garantizado que si algún par de subsecuencias $\{a_{3n}\}, \{a_{2n}\}, \{a_{2n + 1}\} $ de la secuencia $\{a_n\}$ están convergiendo...

Question

Por lo tanto, tenemos que demostrar que si algún par de estas subsecuencias son convergentes no significa que $a_n$ también está convergiendo.

Por pareja $\{a_{2n}\}, \{a_{2n + 1}\}$ todo es bastante obvio. Así que, $a_n = (-1)^n$ sería el contraejemplo perfecto.

Pero, ¿cómo demostrarlo para otras dos posibles combinaciones de subsecuencias? Supongo que debemos considerar el resto de $n$ de la división por 6 y ver que cualquiera de las dos combinaciones de la izquierda no puede cubrir todo el resto. Entonces, vamos a crear un contraejemplo considerando eso.

Pero, por desgracia, no se me ocurre ningún contraejemplo. ¿Quizá me he equivocado de dirección? ¡Gracias por sus respuestas y consejos de antemano!

Answer 1

Considere la secuencia $$a_k=\begin{cases}1&k\text{ is prime}\\0&\text{else}\end{cases}$$ Entonces $\{a_{2n}\}$ y $\{a_{3n}\}$ convergen claramente a $0$ pero $\{a_n\}$ no converge porque hay infinitos primos.

Para $\{a_{2n+1}\}$ y $\{a_{3n}\}$ sustituir $k$ con $k+3$ en la fórmula anterior.

Answer 2

Puede tomar $\color{red}{a_{x_n}}$ y $\color{blue}{a_{y_n}}$ de la siguiente manera:

$$a_n = \{\color{red}{-1},\color{blue}1, \color{blue}{-1} \mid \color{red}1,\color{blue}{-1}, \color{red}1,\color{blue}{-1},\color{red}1,\color{blue}{-1}, \color{red}{1} ... \}$$ donde después de la $\mid$ signo, son sólo su contraejemplo, pero acabamos de cambiar los términos iniciales.

Por supuesto, tenemos que $$\lim_{n\to \infty} \color{red}{a_{x_n}} = \color{red}1$$ y $$\lim_{n\to \infty} \color{blue}{a_{y_n}} = \color{blue}{-1}$$

¿Cómo funciona?

Tenga en cuenta que, $x_n$ y $y_n$ puede darse implícitamente como: $$x_n = 1, 4, 6, 8, 10,... \\ y_n = 2, 3, 5, 7, 9,... $$ o más precisamente como: $$ x_n = \begin{cases} 1, \ \ n = 1 \\ 2n, \ \ n > 1 \end{cases} \ \ \text{ and } \ \ y_n = \begin{cases} 2, \ \ n = 1 \\ 2n - 1, \ \ n > 1 \end{cases} $$

Answer 3

Dejemos que $a_n=(-1)^{m}$ si $n=5^{m}$ y $a_n=0$ para cualquier $n$ que no es de la forma $5^{n}$ . Entonces $a_{3n}$ y $a_{2n}$ son convergentes pero $a_n$ no lo es.

Dejemos que $a_n=(-1)^{m}$ si $n =2^{m}$ y $0$ para otros $n$ . El $a_{3n}$ y $a_{2n+1}$ son convergentes pero $a_n$ no lo es.