¿Existe una base para la que las formas cuadráticas estén ambas diagonalizadas?

Question

La pregunta es si existe una base para la que las dos formas cuadráticas siguientes estén en forma diagonalizada:

$$ q_1(x_1,x_2) = x_1^2 + x_1x_2 - x_2^2 $$ $$ q_2(x_1,x_2) = x_1^2 - 2x_1x_2 $$

Lo que he probado:

He intentado ver si una de las formas cuadráticas es definida positiva, pero he obtenido que ambas no lo son.

Sin embargo, no basta con decir que ninguna es definida positiva para demostrar que no hay una base para la que ambas sean diagonalizadas, o al menos yo no estoy familiarizado con tal frase.

¿Cómo puedo determinar esto?

Gracias.

Answer 1

Traduzcamos el problema al lenguaje de las matrices. Escribe $q_1(x) = x^T A x$ y $q_2(x) = x^T B x$ con $A,B$ simétrico y se supone que $q_1,q_2$ son simultáneamente diagonalizables. Entonces podemos encontrar un $P$ con

$$ P^TAP = D_1, P^TBP = D_2 $$

donde $D_1,D_2$ son diagonales. Supongamos que $A,B$ (y así $D_1,D_2$ ) son invertibles. Entonces

$$ A = \left( P^T \right)^{-1} D_1 P^{-1}, B = \left( P^T \right)^{-1} D_2 P^{-1} $$

así que

$$ A^{-1} B = P D_1^{-1} P^T \left( P^T \right)^{-1} D_2 P^{-1} = P \left( D_1^{-1} D_2 \right) P^{-1} $$

lo que implica que $A^{-1}B$ es similar a una matriz diagonal $D_1^{-1} D_2$ . Así que una condición necesaria para $q_1,q_2$ para ser simultáneamente diagonalizable es para $A^{-1}B$ para ser un diagonalizable matriz .

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En su caso,

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

así que

$$ A^{-1} B = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}. $$

Esta matriz $5 A^{-1} B$ tiene un polinomio característico $X^2 + 20$ que no tiene raíces reales, por lo que no es diagonalizable y, por tanto, sus formas cuadráticas no pueden ser diagonalizadas simultáneamente sobre $\mathbb{R}$ .

Answer 2

La respuesta es no.

De hecho, si existe una base de $\mathbb{R}^2$ tal que las matrices simétricas $A,B$ asociadas a las dos formas cuadráticas son diagonalizables en esa base, entonces existe una matriz de cambio de base ortogonal $P$ tal que

$P^TAP=I_1$

y

$P^TBP=I_2$

donde $I_1, I_2$ son matrices diagonales. Entonces obtenemos

$AB=P^TI_1I_2 P=P^TI_2 I_1 P=BA$

porque $P$ es ortogonal y por tanto $P^{T}=P^{-1}$ .

Esto significa que usted tendría $AB=BA$ .

En su caso

$A=[[1, \frac{1}{2}], [\frac{1}{2}, -1]]$

$B=[[1, -1],[-1, 0]]$

y se puede observar que no se desplazan.

Una condición necesaria para conseguir que dos matrices sean simultáneamente diagonalizables es que conmuten.

Cuando el campo es algebraicamente cerrado, esta condición también es suficiente.