La cuestión es la siguiente:
Dejemos que $f:\mathbb C[x,y]\rightarrow\mathbb C[t]$ sea el homomorfismo que envía a $x\mapsto t+1$ y $y\mapsto t^3-1.$ Determinar el núcleo $K$ de $f$ y demostrar que todo ideal $I$ de $\mathbb C[x,y]$ que contiene $K$ puede ser generado por dos elementos.
Solución:
He demostrado que $((x-1)^3-y-1)=K.$ Sin embargo, tengo problemas para mostrar la segunda parte. ¿Algún consejo?
Sabemos que $\mathbb C[x,y]/K \cong \mathbb C[t]$ y que $\mathbb C[t]$ es un PID, siendo el anillo de polinomios en una variable sobre un campo. Por lo tanto, $\mathbb C[x,y]/K$ también es un PID. Por lo tanto, si $I$ es cualquier ideal que contenga $K$ sabemos que $I/K$ es principal en $\mathbb C[x,y]/K$ por lo que se puede escribir $(\bar{z})$ donde $\bar{z}$ es el coset de algún elemento $z \in \mathbb C[x,y]$ . Queda por comprobar que $z$ y $(x-1)^3-y-1$ generar $I$ . Esto demostraría que $I$ está generada por un máximo de dos elementos, que es lo que pide el problema.
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Supongo $C$ ¿se supone que son los números complejos, o al menos un campo? En ese caso, considere que $C[t]$ es un PID, y que como $f$ es suryectiva, induce un isomorfismo $C[x,y]/K \to C[t]$ .
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Sí $C$ es el campo complejo. Entonces, ¿significa esto que si $I$ es un ideal en $C[x,y]$ entonces $I$ también será un ideal en $C[x,y]/K$ y como esto es isomorfo a $C[t]$ y todos los ideales son principales aquí, y pueden ser generados por más de un elemento, ¿entonces I es generado por más de uno?