Motivación de la definición de objeto infinitesimal

Question

Un objeto infinitesimal $D$ en una categoría cartesiana cerrada $\mathsf{C}$ es uno para el que el functor Hom interno $$(-)^D: \mathsf{C} \to \mathsf{C}$$ tiene un adjunto derecho.

Me pregunto cuál es la motivación de esta definición. Además, ¿cómo se interpretaría este adjunto derecho y qué hace, especialmente en el contexto de la topología y la geometría diferencial (generalizada)?

En cuanto a mi formación, conozco los fundamentos de la teoría de categorías a partir del texto de Awodey, y la geometría diferencial al nivel de la serie de John Lee. Me interesa la geometría sintética, pero estoy empezando a leer el texto de Kock sobre el tema.

Answer 1

En mi opinión, lo que hay que destacar es que para un objeto infinitesimal $D$ , $(-)^D : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ conserva todos los colímetros. Esto aclara la conexión con otras nociones de pequeñez.

De hecho, en categorías algebraicas como $\mathbf{Set}$ , $\mathbf{Ab}$ y $\mathbf{CRing}$ , un objeto $A$ es finitamente presentable si y sólo si el functor $\mathrm{Hom} (A, -) : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ preserva los colímetros filtrados. Además:

• En $\mathbf{Set}$ , $\mathrm{Hom} (A, -) : \mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$ preserva todos los colímites si y sólo si $A$ es un singleton. (En otras palabras, el único objeto infinitesimal en $\mathbf{Set}$ es el punto - ¡como se esperaba!)
• En $\mathbf{Ab}$ , $\mathrm{Hom} (A, -) : \mathbf{Ab} \to \mathbf{Ab}$ preserva todos los colímites si y sólo si $A$ es un proyectivo finitamente generado $\mathbb{Z}$ -lo que ocurre si y sólo si $A$ es un grupo abeliano libre finitamente generado.

Así que hay un precedente bien establecido para pensar en $A$ como un objeto muy pequeño si (alguna versión de) $\mathrm{Hom} (A, -)$ conserva todos los colímetros.

Dicho esto, a veces hay ejemplos inesperados de objetos infinitesimales. Dejemos que $\mathcal{B}$ sea una categoría pequeña con productos finitos. Entonces $\mathcal{C} = [\mathcal{B}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ es una categoría cerrada cartesiana, con exponenciales definidos como sigue: $$Y^X (B) = \mathrm{Hom} (\mathcal{B} (-, B) \times X, Y)$$ Por lo tanto, para $X = \mathcal{B} (-, A)$ , $$Y^X (B) = \mathrm{Hom} (\mathcal{B} (-, B) \times \mathcal{B} (-, A), Y) \cong \mathrm{Hom} (\mathcal{B} (-, B \times A), Y) \cong Y (B \times A)$$ donde en el último paso utilizamos el lema de Yoneda. Por lo tanto, toda preforma representable en $\mathcal{B}$ es infinitesimal. A la inversa, ahora sólo suponiendo que $\mathcal{B}$ tiene un objeto terminal, si $X$ es infinitesimal, entonces $$Y^X (1) = \mathrm{Hom} (\mathcal{B} (-, 1) \times X, Y) \cong \mathrm{Hom} (X, Y)$$ así que $\mathrm{Hom} (X, -) : [\mathcal{B}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}] \to \mathbf{Set}$ preserva todos los colímetros, por lo que $X$ debe ser un repliegue de un presheaf representable en $\mathcal{B}$ . Por lo tanto, si $\mathcal{B}$ es una pequeña categoría idempotente-completa con productos finitos, entonces un presheaf sobre $\mathcal{B}$ es infinitesimal si y sólo si es representable.