Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad , sea $I$ sea un ideal de $R$ y $M$ sea un módulo sobre $R$ . Sé que si $M$ en $R$ es un módulo libre , entonces $M/IM$ es un programa gratuito $R/I$ módulo . Quiero saber; ¿hay alguna forma categórica de ver esto? Sé que para los fijos $R$ y $I$ de la categoría de $R$ módulos a la categoría de $R/I$ existe un functor que envía $M$ a $M/IM$ . ¿Podemos ver la libertad de $M/IM$ dada la libertad de $M$ ¿De manera similar?
Respuesta
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Arnaud D.
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El hecho categórico aquí es que se pueden "componer adjuntos", en el sentido de que si se tienen funtores $F_1:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ , $F_2:\mathcal{Y}\to \mathcal{Z}$ , $G_1:\mathcal{Y}\to \mathcal{X}$ y $G_2:\mathcal{Z}\to \mathcal{Y}$ tal que $F_1\dashv G_1$ y $F_2\dashv G_2$ entonces $F_2\circ F_1\dashv G_1\circ G_2$ .
En efecto, la construcción de módulos libres da un functor $F_R:\mathbf{Set}\to R-\mathbf{Mod}$ que es adjunto a la izquierda del functor de olvido $U_R: R-\mathbf{Mod}\to\mathbf{Set}$ y como esto es válido para cualquier anillo, también tenemos una adjunción $F_{R/I}\dashv U_{R/I}$ entre $\mathbf{Set}$ y $R/I-\mathbf{Mod}$ .
Ahora el functor $M\mapsto M/IM$ es isomorfo al functor $\pi_!: M\mapsto R/I\otimes_{R}M$ (ver por ejemplo esta pregunta aunque no aborda la naturalidad), que es adjunto a la izquierda del functor $\pi^*:R/I-\mathbf{Mod}\to R-\mathbf{Mod}$ inducido por el cociente $\pi:R\to R/I$ (esto se conoce como extensión de escalares o cambio de anillos ). Como este functor no cambia el conjunto subyacente del módulo, tenemos $U_{R/I}=U_{R}\circ \pi^*$ .
Ahora, la composición de adjuntos que mencioné anteriormente y la unicidad de los adjuntos te dice que $F_{R/I}=\pi_!\circ F_{R}$ Así pues, si $M$ es libre sobre un conjunto $X$ (es decir, si $M=F_R(X)$ ), entonces $M/IM$ es libre sobre el mismo conjunto $X$ porque $M/IM=\pi_!(F_R(X))=F_{R/I}(X)$ .
