Demuestra que $T(\mathbf{X})=(\sum X_i, \sum X_i^2)$ no está completo

Question

Dejemos que $X_1, \cdots X_n \stackrel{\text{iid}}{\sim} N(\alpha \sigma, \sigma^2)$ , donde $\alpha$ es conocido, y $\sigma > 0$ es desconocido. Demuestre que la familia de distribuciones de $$T(\mathbf{X})=(\sum X_i, \sum X_i^2)$$ no está completa.

Mi trabajo:

Estoy consiguiendo que esta familia es completa con el siguiente trabajo.

$$\begin{align*}E_\sigma[g(T(X))]&=\int_{-\infty}^\infty g(T(x))\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp(\frac{-1}{2\sigma^2}(x-\alpha \sigma)^2)dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(\frac{-\alpha^2}{2})\int_{-\infty}^\infty g(T(x))\exp(\frac{-x^2}{2\sigma^2} + \frac{x\alpha}{\sigma})dx\end{align*}$$

Para que esto sea $0$ , $\int_{-\infty}^\infty g(T(x))dx=0$ ya que los términos exponenciales nunca pueden ser iguales a 0. ¿Implica esto que la familia de distribuciones de $T(X_1,\cdots,X_n)$ ¿está completo?

Answer 1

El argumento es incorrecto: no es porque $$\int_{-\infty}^\infty g(T(x))\exp(\frac{-x^2}{2\sigma^2} + \frac{x\alpha}{\sigma})\text{d}x=0$$ que $g\circ T$ es necesariamente cero. (El argumento ni siquiera utiliza la forma funcional específica de $T$ .) Además, como señala @whuber El enfoque integral debe ser el siguiente $\mathbb R^n$ en lugar de $\mathbb R$ .

Como sugiere @whuber la línea de ataque estándar es encontrar una función de $T(X)$ que es independiente de $\sigma$ . Lo que podría ayudar en este sentido es reescribir las observaciones como $X_i\sim\sigma Y_i$ , donde $Y_i\sim N(\alpha,1)$ y que se note que $$T(X)\sim(\sigma\sum_i Y_i,\sigma^2\sum_i Y_i^2)$$ para adivinar una transformación de $T(X)$ que no depende de $\sigma$ . (Pista: $\sigma^2=(\sigma)^2$ .)