Aplicación del teorema de Stone-Weierstrass

Question

Demostrar o refutar que el espacio vectorial generado por $\{1\}$ y $\{x^{an+b}: n \in \mathbb{N}\}$ donde $a,b$ son enteros positivos fijos es denso en $C([0,1])$

Answer 1

El hermoso resultado de Muntz-Szasz dice que si $0<p_1<p_2 < \dots,$ entonces el tramo lineal de $ \{1, t^{p_1}, t^{p_2}, \dots \}$ es denso en $C([0,1])$ si

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_n}=\infty.$$

La respuesta a este problema específico es entonces sí. Pero puede haber una forma más elemental.

Answer 2

He aquí una prueba elemental de la afirmación. Si $a\mid b$ entonces el elemento

$$x^{an+b}x^{am+b} = x^{a\left(n+m+\frac{b}{a}\right)+a}$$ es un elemento del espacio vectorial para todo $n,m\in\mathbb{N}$ convirtiéndola en una subálgebra de $C([0,1])$ . Dado que el espacio vectorial separa los puntos y contiene una función constante distinta de cero, el resultado deseado se deduce de la Teorema de Stone-Weierstrass . De hecho, esto también se puede demostrar utilizando el método más débil Teorema de aproximación de Weierstrass (WA) y para el caso $a\not\mid b$ demostrado a continuación que esto es todo lo que necesitaremos.

Si $f(x)\in C([0,1])$ entonces $f(x^{1/a})\in C([0,1])$ por lo que el problema es equivalente a demostrar que el espacio vectorial $$A_c=\text{span}\{1,x^{1+c},x^{2+c},x^{3+c},\ldots\}$$ donde $c = \frac{b}{a}$ es denso en $C([0,1])$ . Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $0<c<1$ .

Arreglar $\epsilon>0$ . Por WA existe un polinomio $P_\epsilon(x)$ que se aproximan $f(x^{1/a})$ con una precisión (uniforme) $\frac{\epsilon}{2}$ en $[0,1]$ . A continuación tenemos que la función $\frac{P_\epsilon(x)-P_\epsilon(0)}{x^c} \in C([0,1])$ desde $c < 1$ así que de nuevo por WA existe un polinomio $Q_\epsilon(x)$ que lo aproximan con una precisión (uniforme) $\frac{\epsilon}{2}$ en $[0,1]$ .

Ahora tenemos que la función $$R_\epsilon(x) \equiv P_\epsilon(0) + x^c Q_\epsilon(x)$$

es un elemento de $A_c$ que satisfacen

$$|f(x^{1/a})-R_\epsilon(x)| \leq |f(x^{1/a})-P_\epsilon(x)| + |P_\epsilon(x) - P_\epsilon(0) - x^cQ_\epsilon(x)|\\ \leq \frac{\epsilon}{2} + \left|x^c\right|\left|\frac{P_\epsilon(x)-P_\epsilon(0)}{x^c} - Q_\epsilon\right| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

donde $|\cdot|$ es la norma uniforme. Dado que $f$ y $\epsilon$ era abitraria se deduce que $A_c$ es denso en $C([0,1])$ .