En cuanto a que un número entero es la suma de tres primos...

Question

Si supiera que cada número par hasta $4 \times 10^{14} $ es la suma de dos primos, aproximadamente cuántos primos tendría que encontrar para demostrar que todo número impar hasta $10^{22}$ es la suma de tres primos? ¿Por qué es importante la comprobación eficaz de la primalidad?

Bueno... si sabemos que cada número par hasta $4 \times 10^{14} $ es la suma de dos primos, entonces si sumamos $3$ a cada número par entonces obtenemos cada número impar hasta $4 \times 10^{14}+1 $ como una suma de tres primos. Podemos sumar primos mayores que $3$ , digamos que $5$ o $7$ a los números pares que se verifica que son la suma de dos primos, pero eventualmente obtendríamos vacíos. No estoy seguro de cómo podemos extender sistemáticamente la primera afirmación sobre los primos gemelos a la segunda afirmación sobre los trillizos de primos, y aproximadamente ¿cuántos primos necesitaría realmente? Tampoco estoy muy seguro de la última pregunta sobre la prueba de primalidad.

Answer 1

Algunos experimentos:

Podemos utilizar los generadores de primos para encontrar algunos generadores de números Impares que sean la suma de tres primos. Por ejemplo, tomemos los generadores de primos:

$2x+1$

$4x-1$

$6x-1$

$n=12x-1$ es un número impar que es o puede ser escrito como la suma de tres primos. Por ejemplo:

$x=2\rightarrow 5+7+11=23$

$x=3\rightarrow 7+11+17=35$

$x=6\rightarrow 13+23+35=11+23+37=71$

Por tanto, podemos concluir que una familia de números Impares de la for $12x-1$ son la suma de tres primos. También podemos utilizar otros generadores de primos; por ejemplo, los primos de la forma $30k+r$ ; $r=1, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29$ Puede haber $\binom {7}{3}=35$ formas de generadores de números Impares. Por ejemplo:

$30k+1$

$30k+7$

$30k+11$

Así que el número impar de la forma $90k+19$ son la suma de tres primos. ésta es una de las 35 formas de números Impares de la forma $90k+R$ . Así que en un programa de ordenador podemos comprobar primero si un número impar arbitrario tiene las formas anteriores o no. Evidentemente, habría huecos que podrían indicar que no todos los números Impares son la suma de tres primos.

Actualización: algunas estimaciones aproximadas:

Supongamos que todos los primos son de la forma $30k+r$ . Tomemos $k=1\rightarrow 1000$ entonces tenemos $35\times 1000=35000$ números que son la suma de tres primos. el más pequeño y sus primos relacionados es de $n=90k+19$ :

$(n, p_1, p_2, p_3)=(109, 31, 37, 41)$

y el mayor que resulta de $90k+71=(30k+19)+(30k+23)+(30k+29)$ es:

$(n, p_1, p_2, p_3)=(90071, 29, 73, 59)$

Tenga en cuenta que $p_1=49-20=29$ , $p_2=53+20=73$ es decir, n puede escribirse como la suma de tres primos distintos. El número par junto a $90071$ es $90072$ y el número de números Impares dentro del rango $29$ a $90071$ es:

$\frac{90072}2-25=45011$

Así que la relación de n en los números totales de impar es:

$\frac {35000}{45011}\approx 0.77\approx 78$ %

A menos que rechacemos el teorema de $30k+r$ o la hipótesis de que todos los números Impares son la suma de tres primos.

Answer 2

No sé si este resultado te es útil, pero si la hipótesis de Riemann generalizada es cierta entonces todo número impar mayor que $2 \times 10^{12}$ se puede escribir como la suma de tres primos.

La hipótesis de Riemann generalizada dice que:

Dejemos que $\chi$ sea un carácter de Dirichlet y su número complejo tal que $L(\chi, s)=0$ si la parte real de $s$ está incluido entre 0 y 1, entonces es igual a 1/2. Obsérvese que en el caso $\chi(n)=1$ , conduce a la hipótesis de Riemann.