Pregunta simple sobre el teorema del valor medio

Question

Dejemos que $\phi,\psi\in C^1[a,b]$ de variación acotada, y $C$ una curva dada por $x=\phi(t),\ y=\psi(t)$ . Sea $\Gamma=\{t_i\}_{i=0,\cdots,m}$ sea una partición de $[a,b]$ . Por $C$ rectificable nos referimos a $$ L=\sup_\Gamma S_\Gamma=\sup_\Gamma \sum_{i=1}^m \left( (\phi(t_i)-\phi(t_{i-1}))^{2}+ (\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^{2}\right)^{1/2}<\infty$$ Aquí, debido a que se cumple la condición de variación acotada, tenemos $C$ rectificable. El problema es pedirme que demuestre que $$L=\int_a^b \left( \phi'(t)^{2}+ \psi'(t)^{2}\right)^{1/2}\ dt\ \ \ (*)$$ Desde $\phi',\psi'$ son continuas, sé que $$L=\lim_{|\Gamma|\to 0} S_\Gamma $$ Así que parece natural su uso, $$\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})=\phi'(\xi_i)(t_i-t_{i-1}) \ \mathrm{and}\ \psi(t_i)-\psi(t_{i-1})=\psi'(\rho_i)(t_i-t_{i-1})$$ para algunos $t_{i-1}\leq \xi_i,\rho_i\leq t_i$ y para todos $i=1,\cdots,m$ para formar una suma de Riemann para $(*)$ que converge a $L$ , en efecto, a partir de $S_\Gamma$ y sustituyendo obtenemos $$S_\Gamma = \sum_{i=1}^m \left( \phi'(\xi_i)^{2}+ \psi'(\rho_i)^{2}\right)^{1/2}(t_i-t_{i-1}) \ \ (**)$$

Mi pregunta comienza aquí:

Intuitivamente, si $|\Gamma|\to 0$ Se espera que $t_{i-1},\xi_i,\rho_i,t_{i}$ estará lo suficientemente cerca, por lo que $(**)$ está muy cerca de una suma de Riemann para $(*)$ y ya está. Pero, ¿es sólo así, quiero decir, puedo tomar $\left( \phi'(\xi_i)^{2}+ \psi'(\rho_i)^{2}\right)^{1/2}$ como si fuera $\left( \phi'(\xi_i)^{2}+ \psi'(\xi_i)^{2}\right)^{1/2}$ ? ¿Cuál es la justificación formal de esto?

Answer 1

A menos que por casualidad ocurra que $\rho_i = \xi_i$ para todos $i$ , $(\ast\ast)$ no será una suma de Riemann para $(\ast)$ . Por lo tanto, tenemos un poco más de trabajo que hacer. Pero, como $\phi$ y $\psi$ se suponen continuamente diferenciables, afortunadamente no hay mucho más trabajo.

Por la continuidad uniforme de $\psi'$ , $(\ast\ast)$ difiere muy poco de una suma de Riemann para $(\ast)$ . Utilizando la desigualdad del triángulo para la norma euclidiana, tenemos $$\bigl\lvert \bigl(\phi'(\xi_i)^2 + \psi'(\rho_i)^2\bigr)^{1/2} - \bigl(\phi'(\xi_i)^2 - \psi'(\xi_i)^2\bigr)^{1/2}\bigr\rvert \leqslant \lvert \psi'(\rho_i) - \psi'(\xi_i)\rvert\,. \tag{1}$$ Y por la continuidad uniforme de $\psi'$ para cada $\varepsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ tal que $$\lvert \psi'(\rho_i) - \psi'(\xi_i)\rvert \leqslant \varepsilon$$ para todos $i$ cuando $\lvert \Gamma\rvert \leqslant \delta$ . Por lo tanto, escribir $$\tilde{S}_{\Gamma} = \sum_{i = 1}^{m} \bigl(\phi'(\xi_i)^2 + \psi'(\xi_i)^2\bigr)^{1/2}(t_i - t_{i-1})$$ tenemos $$\lvert S_{\Gamma} - \tilde{S}_{\Gamma}\rvert \leqslant \sum_{i = 1}^{m} \lvert \psi'(\rho_i) - \psi'(\xi_i)\rvert (t_i - t_{i-1}) \leqslant \sum_{i = 1}^{m} \varepsilon\cdot (t_i - t_{i-1}) = \varepsilon\cdot (b-a)$$ siempre que $\lvert \Gamma\rvert \leqslant \delta$ .

Ahora $\tilde{S}_{\Gamma}$ es una suma de Riemann para $(\ast)$ por lo que se deduce que $$\Biggl\lvert\, L - \int_{a}^{b} \bigl(\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2\bigr)^{1/2}\,dt \Biggr\rvert \leqslant \varepsilon \cdot (b-a)$$ se mantiene para cada $\varepsilon > 0$ . Y eso implica $$L = \int_{a}^{b} \bigl(\phi'(t)^2 + \psi'(t)^2\bigr)^{1/2}\,dt\,.$$

Hemos utilizado la continuidad de una sola de las derivadas ( $\psi$ aquí, obviamente podríamos intercambiar los roles), del otro sólo utilizamos la integrabilidad de Riemann (que asegura que efectivamente $\tilde{S}_{\Gamma}$ tiende a la integral como $\lvert \Gamma\rvert \to 0$ ). La conclusión de que la longitud de arco de la curva viene dada por la integral se mantiene bajo supuestos aún más débiles, pero entonces hay que trabajar más en la demostración.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$S_\Gamma = \sum_{i=1}^m \left( \phi'(\xi_i)^{2}+ \psi'(\xi_i)^{2}\right)^{1/2}(t_i-t_{i-1}) + \sum_{i=1}^m (f(\xi_i,\rho_i) - f(\xi_i,\xi_i))(t_i-t_{i-1}),$$

donde $f:(s,t) \mapsto \sqrt{\phi'(s)^2 + \psi'(t)^2}$ es uniformemente continua en $[a,b]\times[a,b]$ .

Para cualquier $\epsilon > 0$ tenemos para todas las particiones suficientemente finas,

$$|f(\xi_i,\rho_i) - f(\xi_i,\xi_i)| < \epsilon,$$

y,

$$|S_\Gamma - I| \leqslant \left|\sum_{i=1}^m \left( \phi'(\xi_i)^{2}+ \psi'(\xi_i)^{2}\right)^{1/2}(t_i-t_{i-1})-I \right|+ \sum_{i=1}^m \epsilon (t_i - t_{i-1}) \\ = \left|\sum_{i=1}^m \left( \phi'(\xi_i)^{2}+ \psi'(\xi_i)^{2}\right)^{1/2}(t_i-t_{i-1})-I \right|+ \epsilon(b-a),$$

donde $I = \int_a^b \left( \phi'(t)^{2}+ \psi'(t)^{2}\right)^{1/2}\ dt$ .