el doble función derivable (pregunta de examen)

Question

$f$ es dos veces diferenciable, $f(0)=f(1)=0$ $f''$ es continua. Demostrar que no existe $c\in[0,1]$ tal que $$\int_0^1f(x)dx=-\frac1{12}f''(c).$$

Yo no he progresado mucho en este problema. Un montón de ideas vinieron a mi mente, pero ninguno parece funcionar. Obviamente, esto tiene algo que ver con el valor medio teorema. De hecho, sólo tenemos que demostrar que no existe $a,b\in[0,1]$ tal que $\int_0^1f(x)dx=\frac{f'(a)-f'(b)}{a-b}$. Por medio del teorema del valor, no existe $c\in[a,b]$ tal que $f''(c)=\frac{f'(a)-f'(b)}{a-b}$. Pero este no parece ser el camino correcto, porque no hemos utilizado ese $f''$ es continua.

Esto lleva a la segunda idea es mostrar que $f''(x)$ alcanza unos valores por debajo y por encima de $\int_0^1f(x)dx$. Así que creo que tenemos que trabajar, algunas de las desigualdades, que no tengo ninguna idea.

De todos modos, acabo de comenzar el aprendizaje del cálculo para un par de semanas. Esta pregunta es desde el anterior examen de papel, es la única pregunta que no puedo resolver. Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.

Answer 1

Sugerencia: $$ \int_0^1(1-x)f"(x)\mathrm dx=-2\int_0^1f(x)\mathrm dx. $$

Answer 2

He aquí cómo continuar a partir de Andrew de la pista. Por favor, compruebe:

En primer lugar vamos a comprobar que $\int_0^1x(1-x)f''(x)dx=-2\int_0^1f(x)dx$: $$\begin{align*}-2\int_0^1f(x)dx&=-2\left(xf(x)\Big|^1_0-\int_0^1xf'(x)dx\right)\\&=2\left(\frac12x^2f'(x)\Big|^1_0-\int_0^1\frac12x^2f''(x)dx\right)\\&=f'(1)-\int_0^1x^2f''(x)dx\\&=xf'(x)\Big|^1_0-\int_0^1x^2f''(x)dx\\&=xf'(x)\Big|^1_0 - \int_0^1f'(x)dx -\int_0^1x^2f''(x)dx\\&=\int_0^1xf''(x)dx-\int_0^1x^2f''(x)dx\\&=\int_0^1x(1-x)f''(x)dx\end{align*}$$ So we will prove that there exists $c\in[0,1]$ such that $\int_0^1x(1-x)f"(x)dx=\frac16f"(c)$. Note that $x(1-x)\ge0$ for $x\in[0,1]$. Since $f"$ is continuous, by EVT it has a maximum $M$ and minimum $m$ on $[0,1]$. Hence $$\frac16m=\int_0^1x(1-x)m dx\le\int_0^1x(1-x)f''(x)dx\le \int_0^1x(1-x)M dx=\frac16M.$$ Since $f"$ is continuous, by IVT we know that there exists $c$ such that $\frac16f"(c)=\int_0^1x(1-x)f"(x)dx$, como se desee.

QED

Answer 3

Vamos a ser $$f(x)= x^2-x$$ Clearly, $f(0)=f(1)=0$. Y $$\int_0^1 f(x) \ dx= \frac{1}{3}-\frac{1}{2}= \frac{-1}{6}$$ En el otro lado, $$f''(x)= 0$$for all $x \in \mathbb{R}$. Therefore, on this case, do not exists $c \in \mathbb{R}$ such that $ \int_0^1 f(x) \ dx = f"(c)$.