Estoy jugando con algunas cosas de homotopía y quiero averiguar lo que debería ser un producto de aplastamiento sobre categorías.
Confusamente las categorías puntuales significan otra cosa pero yo sólo quiero algo como conjuntos puntuales, una categoría y un objeto.
Ahora creo que hay tres interpretaciones razonables de un functor de "un objeto" $ F : (C, c) \rightarrow (D, d) $ .
- Un "functor estricto de un objeto", que mapea punto a punto $\{ F : C \rightarrow D \mid F(c) = d \}$
- Un "functor no estricto de un objeto" que mapea puntos a puntos isomorfos $\Sigma \, F : C \rightarrow D , \, F(c) \leftrightarrow d $
- Un "functor laxo de un objeto" que mapea un punto a un punto coercible $\Sigma \, F : C \rightarrow D , \, d \rightarrow F(c)$
En cualquier caso, ahora quiere un producto $\wedge$ adjunto a la hom interna. Me parece que hay algunas interpretaciones diferentes de esto y estoy confundido entre las versiones estrictas, no estrictas y laxas.
Es obvio que se quiere basar el producto smash en torno a la categoría de producto, pero no me queda claro cómo pensar en el cociente de los puntos.
$$ (C, c) \wedge (D, d) = (C \times D/(c, y)\sim(x, d), (c, d)) $$
En las versiones no estrictas no se necesita ningún objeto diferente a la categoría de producto. Sólo hay que añadir un isomorfismo $(c,y) \leftrightarrow (x, d)$ o un mapa unidireccional $(x, d) \rightarrow (c, y)$ .
Sin embargo, no veo cómo hackear los morfismos de la categoría de producto.
