¿Funciona esto para tomar derivadas de integrales?

Question

Estoy trabajando en un problema de tarea en el que tengo que hacer algo parecido a esto (no es la pregunta exacta, sólo quiero comprobar mi razonamiento para mi enfoque). Dado:

$f(t)=\int_a^b{g(x,t)dx}$

Necesito encontrar $df/dt$ .

El enfoque que se me ha ocurrido es:

$\frac{df}{dt}=\lim_{h\to0}\frac{\int_a^b{g(x,t+h)dx}- \int_a^b{g(x,t)dx}}{h}=\lim_{h\to0}\int_a^b{\frac{g(x,t+h)-g(x,t)}{h}}dx=\int_a^b{\lim_{h\to0}\frac{g(x,t+h)-g(x,t)}{h}}dx=\int_a^b{\frac{dg}{dt}dx}$

En otras palabras, para calcular $df/dt$ Puedo calcular $dg/dt$ y luego integrarlo con respecto a $x$ de $a$ a $b$ .

¿Es esto correcto? Es se siente me parece correcto, pero no estoy seguro de llevar el límite dentro de la integral.

Disculpas si la notación es mala. No estaba seguro de cómo: (a) hacer integrales más grandes; (b) hacer líneas múltiples con los signos de igualdad alineados; o (c) conseguir la parte de la flecha del límite bajo el límite.

Answer 1

En el libro John M.H. Olmsted - Advanced calculus-Prentice Hall (1961), en las páginas 321-324 se pueden encontrar diferentes variantes sobre cómo diferenciar bajo signo integral (regla de Lebnitz). Un teorema afirma:

Si $f(x,y)$ y $f'_x(x,y)$ son continuas en un rectángulo cerrado $a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d$ , entonces la función $F(x)=\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy$ es diferenciable para $a \leqslant x \leqslant b$ y

$$F'(x)=\int\limits_{c}^{d}f'_x(x,y)dy$$

Puedes encontrar allí generalizaciones para el caso con funciones continuas para los límites de la integral y la integral impropia.

Answer 2

La "regla Liebnitz", a la que se refiere zkutch, dice, en general, que $\frac{d}{dt}\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} f(x,t) dx= f(\beta(t),t)- f(\alpha(t),t)+ \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \frac{\partial f}{\partial t} dx$ .