Un $n!\times n!$ determinante

Question

Consideremos la matriz $A$ con sus filas y columnas enumeradas por los elementos de $S_n$ con $A_{\sigma\tau}=x^{c(\sigma\tau^{-1})}$ donde $c()$ es el número de ciclos en la descomposición de una permutación. Estoy interesado en $|A|$. Más específicamente, mi objetivo es demostrar que todas sus raíces a partir de un polinomio en $x$ son enteros entre $-n+1$ y $n-1$, pero las multiplicidades de las raíces también serían agradables de saber.

Answer 1

Este determinante surgió, y fue evaluado, en los comentarios del Secret Blogging Seminar. La motivación era que desaparece si y solo si $V^{\otimes n}$ tiene endomorfismos negables en la categoría de Deligne de "$GL_x$ representaciones para no entero $x$". Aquí $V$ es la representación "$x$-dimensional de $GL_x$". Vea esa publicación para más información.

Answer 2

Aquí (Darij Grinberg, A representation-theoretical solution to MathOverflow question #88399) es la prueba que indiqué en la sección de comentarios con más detalles. Los errores repetidos absorbieron la mayor parte del tiempo que pasé escribiéndolo, por lo que me llevó cuatro días; permítanme disculparme por esto.