Forma rigurosa de demostrar el ínfimo de una secuencia

Question

Podría alguien proporcionarme una forma rigurosa de demostrar que inf(1/sqrt(n)) = 0. Ya he demostrado que existe por la propiedad de completitud.

Gracias.

Answer 1

Tal vez el principio de Arquímedes ayude. Para cada $\epsilon>0$ , encontrar algunos $N\in{\bf{N}}$ tal que $\dfrac{1}{N}<\epsilon.$ , entonces para todos los $n\geq N^{2}$ tenemos $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq\dfrac{1}{N}<\epsilon$ . Dado que cualquier $n$ satsifica $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\in\left\{\dfrac{1}{\sqrt{n}}: n\in{\bf{N}}\right\}$ Así que $\inf\left\{\dfrac{1}{\sqrt{n}}: n\in{\bf{N}}\right\}<\epsilon$ . Esto es cierto para todos los $\epsilon>0$ y el infimo es no negativo, por lo que es cero.

Answer 2

$A:= $ { $1/√n$ | $n\in \mathbb{Z+}$ }.

$ \inf(A)$ existe y $\inf(A) \ge 0.$

(Ya que $0$ es un límite inferior).

Supongamos que $\inf(A) =a >0.$

Elija $n_0 > 1/a^2.$ (Arquímedes)

Entonces

$0 < 1/√n_0 < a.$

$\rightarrow$

$a(>0)$ no es un límite inferior de $A.$

Por lo tanto,

$ \inf(A)= 0.$