¿Son las funciones propias siempre normalizables?

Question

Si $y$ es una función propia que corresponde al valor propio $a$ del operador $A$ :

$$A\langle y|=a\langle y|$$

¿Podemos asumir que $$\int y^*y=1$$ ?

Answer 1

Contraejemplo: funciones propias del operador de momento $\hat{p} \sim - i\frac{\partial} {\partial x}$ no son normalizables sobre espacios no compactos como $\mathbb{R}^d$ . Las soluciones son ondas planas que se pueden normalizar en un sentido distributivo: $$\int d^d x\, y_p(x)^\star y_{p'}(x) = \delta^d( p - p').$$