¿Cómo encontrar los ángulos entre tres vectores en un espacio 3D?

Question

Mi libro me pedía encontrar la resultante de los 3 vectores $\vec{A}$ , $\vec{B}$ y $\vec{C}$ . Puedo encontrar la resultante de $\vec{A}$ y $\vec{B}$ ou $\vec{A}$ y $\vec{C}$ utilizando $$R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos\alpha}$$ (ya que sé $\alpha$ ), pero no sé cómo encontrar la resultante de $\vec{R}$ y $\vec{C}$ (ya que no conozco el $\alpha$ ).

¿Cómo debo enfocar estas matemáticas?

Answer 1

Como dijo @NinadMunshi, no sabemos el ángulo entre $\vec A$ y $\vec C$ , por lo que no podemos averiguar la resultante de $\vec R$ y $\vec C$ . Pero, bajo el supuesto de que el ángulo entre el vector $\vec B$ y la proyección de $\vec C$ en el $z$ eje es de 90°, podemos sumar con componentes.

Dejemos que $x$ estar a la derecha, $y$ estar en pie y $z$ estar detrás de nosotros. Entonces, los vectores son

$$\vec A = (0,6,0)\rm\, N$$ $$\vec B = (5,0,0)\rm\, N$$ $$\vec C = (0,-\sqrt{3},1)\rm\, N$$ $\vec C$ es así porque $\cos{30°}\cdot 2\rm\, N=\sqrt{3}\rm\, N$ y $\sin{30°}\cdot 2\rm\, N=1\rm\, N$ .

Podemos encontrar la resultante de $\vec A$ y $\vec B$ : $$\vec R=\vec A + \vec B = (0,6,0)\rm\, N + (5,0,0)\rm\, N = (5,6,0)\rm\, N$$ Dejemos que $\vec P$ sea la resultante de $\vec R$ y $\vec C$ . Entonces, $$\vec P=\vec R + \vec C = (5,6,0)\rm\, N + (0,-\sqrt{3},1)\rm\, N = \underline{(5,6-\sqrt{3},1)\rm\, N}$$ Pero sí, eso es bajo el supuesto de que el ángulo entre el vector $\vec B$ y la proyección de $\vec C$ en el $z$ eje es de 90°. De lo contrario, no podemos responder (no hay suficiente información).