Identificar una curva

Question

Pregunta: ¿Cuál es la curva descrita por

$$x=t^2+t+1, \, y=t^2-t+1$$

Mi método: Diferenciar ambos $x$ y $y$ wrt $t$ ,

$$dx/dt=2t+1.$$ $$dy/dt=2t-1.$$ $$dx/dy=(2t+1)/(2t-1).$$ $$x-y=2t.$$ $$dx/dy=(x-y+1)/(x-y-1).$$

Multiplicación cruzada, $$xdx-ydx-dx=xdy-ydy+dy.$$ Integrar, $$x^2/2+y^2/2-xy-x-y=c.$$ No sé cómo identificar esta curva. No es una parábola, una elipse o una hipérbola porque los coeficientes de $x^2$ y $y^2$ son los mismos. ¿Cómo puedo identificar la curva?

Answer 1

Pista. Elimine el parámetro $t=(x-y)/2$ de $x=t^2+t+1$ , entonces se obtendrá inmediatamente la ecuación: $$x^2-2xy+y^2-2x-2y+4=0.$$ Dejemos que $X=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y)$ y $Y=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)$ (esto es un $45^{\circ}$ -rotación) entonces la ecuación se convierte en $$Y=\frac{X^2+2}{\sqrt{2}}.$$ ¿Qué tipo de curva es esta?