Para calcular la intensidad de la dispersión elástica de los rayos X de los cristales, se considera clásicamente la dispersión de un electrón libre primero y luego se suman los campos electromagnéticos dispersos de todos los electrones en un átomo y eventualmente en todo el cristal, después de lo cual el vector de Poynting promediado en el tiempo da una expresión para la intensidad dispersada. Para un haz no polarizado con intensidad $I_{0}$ la intensidad de la dispersión elástica de un electrón libre en coordenadas esféricas viene dada por (dispersión Thomson) $$\begin{split}I(R,\phi,2\theta)=&I_{0}\frac{r_{e}^{2}}{R^{2}}(1-\sin^{2}2\theta\left<\cos^{2}\phi\right>)\\ =&I_{0}\frac{r_{e}^{2}}{R^{2}}\frac{1+\cos^{2}2\theta}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (1) \end{split} $$ con $\left<\cdot\right>$ la media de tiempo. Ahora bien, al ampliar esto a los cristales se escribe $$I(R,\phi,2\theta)=I_{0}\frac{r_{e}^{2}}{R^{2}}\frac{1+\cos^{2}2\theta}{2}GG^{\ast}\left<FF^{\ast}\right>\quad\quad (2)$$ con $X^{\ast}$ el complejo conjugado de $X$ y $G$ la función de interferencia de Laue (que es cero en casi todas partes excepto en las direcciones para las que se cumple la ley de Bragg) y $F$ el factor de estructura (que depende del tiempo porque los electrones se mueven en un átomo y los átomos se mueven en un cristal debido al movimiento térmico). La cuestión es que la media temporal de $F$ y $\cos^{2}\phi$ ¡se consideran por separado! Pero, ¿por qué es válido? O, en otras palabras, ¿cómo se deduce (2) de (3) $$I(R,\phi,2\theta)=I_{0}\frac{r_{e}^{2}}{R^{2}}GG^{\ast}\left<FF^{\ast}(1-\sin^{2}2\theta\cos^{2}\phi)\right>\quad\quad (3)$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No es mi campo, pero odio ver que una pregunta tan bien formulada se quede sin respuesta, así que voy a intentarlo.
En primer lugar, si funciona en la práctica, entonces tiene un justificación empírica . Si funciona, funciona.
Pero tratemos de ver por qué .
Justificación clásica
Sin saber realmente la respuesta mi primera inclinación es preguntar que el período de los rayos X se compara con la escala de tiempo en la que $F$ varía.
Si estas escalas de tiempo son muy diferentes, se puede mantener razonablemente la lenta como fija mientras se promedia la rápida, y entonces media sobre la lenta para determinar su respuesta experimental.
Justificación semiclásica
Las funciones de estructura describen una física que es en gran medida de naturaleza mecánica cuántica. Si no se mide qué configuración se dispersa individualmente entonces debes sumar sobre ellos de forma incoherente. Al mismo tiempo, seguimos tratando la E&M de forma clásica, por lo que se promedia el tiempo después de tomar la suma cuántica incoherente.
La forma más sencilla de decirlo es que la fase de dispersión de los fotones no está relacionada con la configuración de la posición nuclear del cristal. El fotón entra y sale mientras el cristal está efectivamente congelado, y el siguiente fotón ve un cristal que es efectivamente el mismo que el primero, hasta que, eones después desde el punto de vista de cualquier proceso de rayos X de fotones, el cristal ha cambiado térmicamente. El promedio térmico es un promedio lento (en la escala de tiempo de los rayos X) ya que los núcleos se agitan al azar, y puede hacerse independientemente de cualquier promedio rápido de los fotones.
Átomo de fotón Hamitloniano
Pero esto no es una buena respuesta a la confusión que tienes. La verdadera razón por la que esto es confuso es porque el libro está utilizando un método de cálculo clásico injustificado que resulta dar la misma respuesta que el cálculo cuántico correcto. La intensidad direccional de la dispersión de un solo fotón de rayos X resulta ser derivable de un modelo clásico, porque la onda clásica se produce a partir de un montón de fotones coherentes superpuestos.
Cuando se trata de fotones de rayos X y átomos, se debe utilizar el Hamiltoniano del fotón-átomo, asumiendo que los núcleos son clásicos y los electrones son cuánticos, y el Hamiltoniano del electrón es no relativista, pero está acoplado a la radiación. Este es el Hamiltoniano del electrón
$$ \sum_n {( p -eA(x))^2\over 2m} + \sum_i V(x_i) + \sum_{i\ne j} {e^2\over (x_i-x_j)}$$
El hamiltoniano de campo es proporcional a
$$ \sum_\epsilon \int |k| a_\epsilon^\dagger(k) a_\epsilon(k) {d^3 k\over (2\pi)^3} $$
Que no es más que la suma sobre los modos de la energía del fotón por el número de fotones, y $\epsilon$ es la polarización. Así es como se debe calcular la dispersión fotón a fotón. Pero la resultado equivale a calcular la reradiación clásica de los electrones libres. Esto no es una coincidencia, pero le da una imagen conceptualmente errónea de lo que está sucediendo.
La energía del estado básico del Hamiltoniano del electrón (ignorando los fotones) es la energía potencial para los núcleos clásicos, a los que se les permite moverse clásicamente. El Hamiltoniano se utiliza para las perturbaciones de mínimo orden para ver las transiciones debidas a los fotones en los electrones y para calcular la dispersión de los fotones.
No se puede utilizar este hamiltoniano para hacer cálculos de perturbación de orden superior (al menos no de una manera razonable, sin recortes de la masa del electrón), porque no permite la renormalización. Esto se debe a que es no relativista. Los fotones cambian la masa efectiva de los electrones de una manera relativista invariante, pero los electrones son invariantes bajo las transformaciones galileanas, de modo que si tienes una cancelación entre la masa desnuda y la corrección de masa, no funciona si el electrón se mueve a una velocidad constante. Este fracaso de la renormalización significa que se obtienen infinitos en los cálculos de orden superior, de modo que este formalismo no da respuestas de orden superior. Se necesita una teoría relativista, o un truncamiento no relativista consistente.
Pero este formalismo funciona muy bien para el orden de los árboles, ignorando los bucles. La dispersión de los fotones de rayos X en los electrones debería calcularse de esta manera.
