Describir una ecuación geométricamente

Question

Terminando las últimas cosas que me quedan para mis exámenes de fin de semestre de Álgebra Lineal II, me topé con una colección de ejercicios idénticos, publicando uno a continuación:

Describir geométricamente, dando toda la información posible (eje, focis, distancias, etc.), el espacio geométrico de los puntos $(x,y)\in \mathbb R^2$ que satisfacen la ecuación :

$13x^2 + 7y^2 - 6\sqrt{3} xy = 4$

Ahora, sé que esto es una elipse (la examiné a través de Mathematica/Wolfram). También por puro intercambio es obvio que es una elipse pero mi pregunta es ¿cómo describirla mediante una forma de aproximación matemática? Un intento que se me ocurrió es pasar por la forma normal de la forma cuadrática con respecto al escalar.

¿Es este un enfoque correcto? ¿Alguien puede dar una pista sobre el punto de partida? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

En forma cuadrática, esto es $v^T A v=4$ donde $v=(x,y)^T$ y $A=\begin{pmatrix}13 &-3\sqrt{3}\\ -3\sqrt{3} &7\end{pmatrix}$ . Esto es determinante $64$ y rastrear $20$ , lo que por inspección implica valores propios $4,16$ . En consecuencia, existen vectores propios $v_1,v_2$ tal que $Av_1=4v_2$ y $Av_2=16v_2$ su construcción se deja al lector interesado.

Desde $A$ es real y simétrica, éstas proporcionan una base ortogonal; por comodidad, supondré que ambas están normalizadas a 1. Por lo tanto, podemos escribir $v=c_1 v_1+c_2 v_2$ para algunos $c_1,c_2$ y entonces la forma cuadrática anterior se convierte en

$$v^T A v=(c_1 v_1+c_2 v_2)^T A(c_1 v_1+c_2 v_2)=(c_1 v_1^T+c_2 v_2^T)(4c_1v_1+16c_2 v_2) = (2c_1)^2+(4c_2)^2.$$ Ahora, $(2c_1)^2+(4c_2)^2=4$ es una elipse en las coordenadas $(c_1,c_2)$ los ejes semimayor y semimor son $2$ y $1$ respectivamente. Pero el cambio de variables $(c_1,c_2)=(v_1^T,v_2^T) v$ corresponde directamente a una rotación del $xy$ -ejes. Así que la figura sigue siendo una elipse con estos ejes.

Answer 2

Sí, este es un enfoque correcto. Más concretamente, considere la matriz simétrica

$$ A = \begin{pmatrix} 13 & -3\sqrt{3} \\ -3\sqrt{3} & 7 \end{pmatrix} $$

cuya forma cuadrática asociada es

$$ q_A(\vec{v}) = \vec{v}^T A \vec{v} = 13x^2 - 6\sqrt{3}xy + 7y^2, \,\,\, \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. $$

Se quiere encontrar la forma geométrica del conjunto de niveles $q_A(\vec{v}) = 4$ . La matriz $A$ es ortogonalmente similar a la matriz diagonal $D = \operatorname{diag}(4,16)$ lo que significa que se puede encontrar una matriz ortogonal $O$ para que $A = O D O^T$ . Ahora, el conjunto de niveles $q_D(\vec{w}) = 4$ es una elipse (cuya ecuación es $4x^2 + 16y^2 = 4 \iff x^2 + (2y)^2 = 1$ ) cuyos diámetros son de longitud $2,1$ . Desde

$$ q_A(\vec{v}) = q_D(O^T\vec{v}) = q_D(\vec{w}) = 4, \,\,\, \vec{w} = O^T\vec{v} $$

el conjunto de niveles $q_A(\vec{v}) = 4$ se obtiene girando la elipse $x^2 + (2y)^2 = 1$ alrededor del origen utilizando $O$ . Los ejes de $q_A(\vec{v}) = 4$ son los vectores propios de la matriz $A$ / columnas de $O$ .