Es $\left\{z\in\Bbb C\;:\;\left|\frac{\epsilon}z-a\right|<r\right\}$ ¿un círculo?

Question

Arreglemos $a=se^{i\psi}\in\Bbb C,\;r>0,\epsilon>0$ .

Quiero describir el conjunto $$ A:=\left\{z\in\Bbb C\;:\;\left|\frac{\epsilon}z-a\right|<r\right\}\;\;. $$

En primer lugar, observo que $$ \frac{\epsilon}z=a\;\;\Longleftrightarrow z=\frac{\epsilon}{s}e^{-i\psi}. $$ Llámalo $z_0$ . Ahora, si nos movemos en $A$ en la línea de los números complejos del argumento $-\psi$ los elementos más alejados de $z_0$ son $z_{\pm}:=\left(\frac\epsilon s\pm r\right)e^{-i\psi}$ (que están en $\partial A$ para ser precisos), por lo que se deduce que $$ \lambda e^{-i\psi}\in A,\;\;\lambda\in\left(\frac\epsilon s-r,\frac\epsilon s+r\right). $$ Además, para cada uno de estos $\lambda$ existe $g(\lambda)>0$ tal que $$ \lambda e^{-i\phi}\in A\;\;\Longleftrightarrow \phi\in\left(\psi-g(\lambda),\psi+g(\lambda)\right)=:I_{\lambda}\;. $$ Está claro que:

- $g$ es continua (y yo diría que suave)

- $g(\lambda)\to0^+$ como $\lambda\to\frac\epsilon s\pm r$

-alcanza su máximo en el punto medio $\lambda_0=\frac\epsilon s$

-es simétrico con respecto a $\lambda_0$

Por lo tanto, $A$ puede describirse como sigue:

$$ A=\left\{\lambda e^{-i\phi}\;:\;\lambda\in\left(\frac\epsilon s-r,\frac\epsilon s+r\right),\; \phi\in\left(\psi-g(\lambda),\psi+g(\lambda)\right)\right\}\;\;. $$

Mi sospecha es que $g$ aumenta hasta $\lambda_0$ y luego disminuye a $0$ de manera que la superficie abarcada sea exactamente un círculo, es decir $$ A=\left\{\left|z-\frac\epsilon a\right|<r\right\}\;. $$ ¿Qué puedo hacer para obtener más información sobre $g$ para demostrar/desmentir esta última igualdad?

Answer 1

$W = \{w \in \mathbb C: |w - a| = r\}$ es el círculo de radio $r$ centrado en $a$ . Es la imagen de $Z = \{z \in \overline{\mathbb C}: |\epsilon/z - a| = r\}$ bajo la inversión $f: z \to \epsilon/z$ , donde $\overline{\mathbb C}$ es la esfera de Riemann (el plano complejo extendido). Al ser una transformación de Möbius, convierte círculos y líneas en círculos y líneas. Para asegurarnos de que es un círculo y no una recta, sólo tenemos que asegurarnos de que no contiene el punto en $\infty$ es decir, que $|a| \ne r$ . Ahora $A = \{z \in \mathbb C: |\epsilon/z - a| < r\}$ es el interior o el exterior del círculo $Z$ . Para comprobar cuál es, basta con comprobar qué ocurre con $\infty$ bajo la transformación. Lo que necesitamos para que sea el interior del círculo es que no contenga una vecindad borrada de $\infty$ es decir, que $|a| > r$ .