Necesito probar el teorema de Stokes $\int_Qd\omega=\int_{\partial Q}\omega\;$ para una 2 forma y $Q\subset \mathbb R^3 \;$ un cubo.
Desde $\omega \;$ es una forma doble que se puede escribir como $$\omega =f_1(x,y,z)dx\wedge dy+f_2(x,y,z)dy\wedge dz+f_3(x,y,z)dz\wedge dx$$
Por lo tanto: $$d\omega =(\frac{\partial f_1}{\partial z}+\frac{\partial f_2}{\partial x}+\frac{\partial f_3}{\partial y})dx\wedge dy \wedge dz$$
Dejemos que $Q =[x_1,x_2]\times [y_1,y_2] \times [z_1,z_2]$
Entonces me sale lo siguiente: $$\int_Q d\omega =\int_{z_1}^{z_2}\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f_1}{\partial z}+\frac{\partial f_2}{\partial x}+\frac{\partial f_3}{\partial y}dxdydz =\int_{z_1}^{z_2}\int_{y_1}^{y_2}f_2(x_2,y,z)-f_2(x_1,y,z)dydz-\int_{z_1}^{z_2}\int_{x_1}^{x_2}f_3(x,y_2,z)-f_3(x,y_1,z)dxdz+\int_{z_1}^{z_2}\int_{y_1}^{y_2}f_1(x,y,z_2)-f_1(x,y,z_1)dxdy$$
Sin embargo, la integración sobre $\partial Q\;$ me atrapa.
$$\int_{\partial Q} \omega =\int_{z_1}^{z_2}\int_{y_1}^{y_2}f_2(x_2,y,z)-f_2(x_1,y,z)dydz+\int_{z_1}^{z_2}\int_{x_1}^{x_2}f_3(x,y_2,z)-f_3(x,y_1,z)dxdz+\int_{z_1}^{z_2}\int_{y_1}^{y_2}f_1(x,y,z_2)-f_1(x,y,z_1)dxdy$$ dada la orientación de $\partial Q $
Creo que me equivoco en la segunda parte (Integración sobre $\partial Q$ )
¿Puede alguien explicarme en qué me equivoco y cómo se puede solucionar? Gracias
