Así pues, sigo trabajando con los apuntes de la conferencia de Adams, y aquí hay algo que no he podido averiguar inmediatamente:
Está claro que para $F$ un espectro, $K$ un complejo CW finito y $E$ su espectro de suspensión asociado, una función $f:\Sigma^nK\to F_n$ induce un mapa de espectros (ya que podemos tomar todo lo que está por encima de $\Sigma^nK$ para ser el subespectro cofinal y las suspensiones inducen todos los mapas superiores).
Ahora, en última instancia, vamos a considerar el objeto $A=\mathrm{colim}_n[\Sigma^nK,F_n]$ . Entonces, supongamos dos mapas $f:\Sigma^nK\to F_n$ y $g:\Sigma^mK\to F_m$ inducir el mismo objeto en $A$ . Entonces deben (por la naturaleza del sistema dirigido sobre el que indexamos nuestro colímite) coincidir en algún punto finito, es decir, para algún $p$ los mapas $\Sigma^pK\overset{\Sigma^{p-n}f}\to\Sigma^{p-n}F\to F_p$ y $\Sigma^pK\overset{\Sigma^{p-n}g}\to\Sigma^{p-n}F\to F_p$ son homotópicas o definen el mismo objeto en $[\Sigma^pK,F_p]$ .
La siguiente afirmación de Adams es que esta homotopía puede extenderse a todo el espectro (en subespectra cofinal adecuado, por supuesto) y quizás sea sólo mi falta de experiencia con suspensiones y demás, pero no consigo entenderlo. Algo así como que si tenemos una homotopía en un nivel determinado, entonces podemos simplemente suspender esa homotopía para obtenerla en cada nivel superior (es decir, un subespectro cofinal).
¡Gracias! -Jon
