Límite con la regla de L'Hopital - comprobación del trabajo

Question

Estoy tomando este límite:

$$\lim_{x\to\pi/4}{10(\tan(x))^{\tan(2x)}}$$

Intenté lo siguiente:

$$\lim_{x\to\pi/4}{e^{\ln(10)+\tan(2x)\times\ln(\tan(x))}}$$

Considera los exponentes:

$$\lim_{x\to\pi/4}{\ln(10)+\tan(2x)\times\ln(\tan(x))}$$

$$\ln(10) + \lim_{x\to\pi/4}{\tan(2x)\times\ln(\tan(x))}$$

$$\ln(10) + \lim_{x\to\pi/4}{\frac{\ln(\tan(x))}{(\tan(2x))^{-1}}}$$

l'Hopital's $$\ln(10) + \lim_{x\to\pi/4}{0.5\frac{\csc(x)\sec(x)}{\tan(x)+x\sec^2(x)}}\tag{*}$$

$$\ln(10) + \frac{1}{1+\pi/2}$$

Aplicar el resultado como exponente de $e$ :

$$e^{\ln(10) + \frac{1}{1+\pi/2}}$$

$$10e^{\frac{1}{1+\pi/2}}$$

Este resultado es incorrecto. ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

El denominador en (*) me parece extraño. Debería ser la derivada de $(\tan(2x))^{-1}=\cot(2x)=\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$ que es $$ 2\frac{-\sin^2(2x)-\cos^2(2x)}{\sin^2(2x)}=-\frac{2}{\sin^2(2x)}. $$ ¿De dónde has sacado el factor $x$ ¿de?

P.D. Es más fácil dividir $\tan(2x)$ como $$ \lim_{x\to\pi/4}{\frac{\ln(\tan(x))}{(\tan(2x))^{-1}}}=\lim_{x\to\pi/4}{\underbrace{\sin(2x)}_{\to 1}\cdot\frac{\ln(\tan(x))}{\cos(2x)}}=\lim_{x\to\pi/4}{\frac{\ln(\tan(x))}{\cos(2x)}} $$ y luego aplicar la regla de L'Hospital.