Resolución del movimiento browniano geométrico en un intervalo general.

Question

Sé que el Movimiento Browniano Geométrico, con la expresión $dX_t = v X_t dt + \sigma X_t dW_t$ tiene la siguiente solución $$X_t = X_0 e^{\sigma W_t+ (v-\frac{\sigma ^2}{2})t}$$ en el intervalo $[0,T]$ . Pero, ¿cuál sería la solución en un intervalo general $[t_1,t_2]$ ?

¿Sería $$X_t = X_{t_1} e^{\sigma W_t-W_{t_1}+ (v-\frac{\sigma ^2}{2})(t-t_1)}$$

Answer 1

Utilizando el lema de Ito tenemos

$$d\log X_t=\left(v-\frac12\sigma^2\right)dt+\sigma dW_t \tag 1$$

Integrando $(1)$ entre $t_1$ y $t_2$ rinde

$$\begin{align} \log(X_{t_2}/X_{t_1})&=\left(v-\frac12\sigma^2\right)\left(t_2-t_1\right)+\sigma\int_{t_1}^{t_2}dW_t\\\\ &=\left(v-\frac12\sigma^2\right)\left(t_2-t_1\right)+\sigma\left(W_{t_2}-W_{t_1}\right) \end{align}$$

a partir de la cual tenemos

$$X_{t_2}=X_{t_1}e^{\left(v-\frac12\sigma^2\right)\left(t_2-t_1\right)+\sigma\left(W_{t_2}-W_{t_1}\right)}$$