Cómo sumar dos subconjuntos

Question

Este es un ejemplo de Linear Algebra Done Right de Axler:

Supongamos que $U = \{(x, x, y, y) \in F^4 : x, y \in F\}$ y $W = \{(x, x, x, y) \in F^4 : x, y \in F\}$ Entonces $U + W = \{(x, x, y, z) \in F^4 : x, y, z \in F\}$

No entiendo cómo $U$ y $W$ suma a eso. ¿Puede alguien explicar cómo se ha llegado a esta conclusión? Gracias.

Answer 1

Supongamos que $u\in U$ y $w\in W$ . Entonces $u=(a,a,b,b)$ y $w=(c,c,c,d)$ para algunos $a,b,c,d\in F$ . Por lo tanto, $$ u+w=(a+c,a+c,b+c,b+d). $$ Como $a,b,c,d$ pueden variar a lo largo de $F$ Esto genera todos los elementos de la forma $$ (x,x,y,z). $$