Supongamos que $f(x)$ es positivo, creciente y Riemann-integrable en el intervalo $[a,b]$ . Sea $$\bar{x}=\frac{\int_a^b xf(x)\,\text{d}x}{\int_a^b f(x)\,\text{d}x}.$$ Demostrar que $$\int_a^{\bar{x}} f(x)\,\text{d}x \le \int_{\bar{x}}^b f(x)\,\text{d}x.$$ Intenté el teorema del valor medio, pero no llegué a la conclusión. ¿Alguien puede dar una pista?
Respuesta
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Reduzcamos la cuestión a un resultado conocido. Sustituyendo $f$ avec $(\int_a^bf)^{-1}f$ si es necesario, podemos, (y lo haremos), suponer sin pérdida de generalidad que $\int_a^bf=1$ .
Para toda función convexa $\varphi$ tenemos por La desigualdad de Jensen $$\varphi\left(\int_a^b xf(x) dx\right)\leq \int_a^b\varphi(x)f(x)dx$$ o, utilizando la notación del problema: $$\varphi\left(\bar{x}\right)\leq \int_a^b\varphi(x)f(x)dx$$ Ahora bien, como $f$ es creciente, entonces $\varphi:[a,b]\to\Bbb{R}:\varphi(x)=\int_a^xf(t)dt$ es convexa, y en consecuencia, podemos aplicar la desigualdad anterior con esta $\varphi$ : $$\int_a^{\bar{x}}f(t)dt\leq \int_a^b\left(\int_a^xf(t)dt\right)f(x)dx =\left.\frac{1}{2}\left(\int_a^xf(t)dt\right)^2\right\vert_{x=a}^{x=b}=\frac{1}{2}$$ y la desigualdad deseada se deduce ya que $$\int_a^{\bar{x}}f(t)dt+\int_{\bar{x}}^bf(t)dt=1$$ se obtiene la desigualdad deseada. $\qquad\square$
