El problema
Hay un ejercicio en el curso OCW 18.01SC del MIT:
¿Cuál es la distancia media del $x$ -eje de un punto elegido al azar en el cardioide $r = a (1 - \cos (\theta))$ si se elige el punto b) dejando un punto $P$ viajan alrededor del cardioide a una velocidad uniforme, deteniéndose al azar;
He conseguido encontrar la respuesta correctamente, mi solución es larga, pero sencilla. La solución dada en las respuestas es mucho más corta, pero no la entiendo.
Solución del MIT
En la solución propuesta están promediando la expresión
$$ \frac 1 {8a} \int_{-\pi}^{\pi} {| r \sin \theta | a \sqrt {2 - 2 \cos \theta} d\theta} $$
que en realidad es
$$ \frac 1 {8a} \int_{-\pi}^{\pi} { d(\theta) \frac {dw} {d\theta} d\theta }$$
según tengo entendido porque se deriva de encontrar el elemento de longitud de arco $dw$ como:
$$ dw = {\sqrt {\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 } } d\theta \\ = \sqrt { \left(\frac {dr} {d\theta}\right)^2 + r^2 } d\theta \\ = a \sqrt {2 - 2 \cos \theta} d\theta$$
No entiendo muy bien su idea de encontrar la media.
Mi solución
Consideré sólo la parte superior del cardioide por la simetría: $\theta: 0 \dots \pi$ .
Mi objetivo era encontrar la distancia en función de la longitud del arco: $d(w)$ y calcular la media como $$ \frac {\int_{0}^{w(\pi)}{d(w) dw}} {\int_{0}^{w(\pi)}{dw}} $$
Como sé la distancia en función de $\theta$ : $d(\theta) = r(\theta) sin(\theta)$ Quería encontrar $\theta$ en función de la longitud del arco: $\theta(w)$ .
Al principio encontré $$w(\theta) = \int_0^{\theta} {\sqrt {\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 } dt \\ = 4a (1 - \cos \frac \theta 2) } $$
Por lo tanto,
$$ \theta = 2 \cos ^ {-1} (1 - \frac w {4a}) $$
Enchufándolo en $$ {\int_{0}^{w(\pi)}{d(w) dw}} = \\ {\int_{0}^{w(\pi)}{r(\theta) * \sin(\theta) dw}} $$
Lo integré usando algo de trigonometría en la respuesta correcta $\frac {4a} 5$
