Cómo hacer campos de la extensión de implementar $>, <$ comparaciones?

Question

Estoy tomando un curso de álgebra abstracta, y acaba de llegar a la extensión de los campos - por ejemplo, puede definir $\sqrt{2}$ comenzando con el campo de $\mathbb{Q}$ y la definición de $\sqrt{2}$ como una solución a la irreductible ( $\mathbb{Q}$ ) polinomio $x^2 - 2$.

Este es intuitivo para mí, porque sé que algo adicional acerca de la $\sqrt{2}$: de forma intuitiva, quiero ser capaz de hacer declaraciones como las $1 < \sqrt{2} < 2$, pero no estoy seguro de cómo $<$ es definido aún cuando $\sqrt{2}$ es fabricado como así.

Entonces, mi pregunta: el uso de la extensión-definición del campo de $\sqrt{2}$, lo que adicionales de construcción nos permite hacer comparaciones como $1 < \sqrt{2} < 2$? Y ¿por qué estas construcciones no nos permiten hacer comparaciones en $i$, que se define de forma similar a través de la extensión de los campos (desde $1 < i < 2$ es un sin sentido?

Answer 1

No. Usted necesita recoger una incrustación de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ a $\mathbb{R}$, que es una ordenó campo, y usted puede hacer comparaciones en ordenadas los campos. ($\mathbb{Q}(i)$ no tiene ningún tipo de incrustaciones.) Por desgracia, hay dos incrustaciones: en la otra incorporación, $\sqrt{2}$ es enviado a $-\sqrt{2}$, y entonces es no cierto que $1 < - \sqrt{2} < 2$. En otras palabras, saber que $\sqrt{2}$ es una raíz de $x^2 - 2$ no es suficiente información para concluir que es positivo.

Más en general, un número de campo tiene tanto reales y complejos, incrustaciones, y mudarse a un lugar diferente real de la incrustación de no preservar el valor de verdad de las declaraciones que implican órdenes.

Answer 2

Voy a llamar a $\sqrt{2}$$\alpha$, en su lugar, para distinguirlo del número real positivo cuyo cuadrado es $2$.

Sorprendentemente, hay dos maneras distintas en las que podemos hacer $\Bbb Q(\alpha)$ ordenada de campo con las operaciones normales, en virtud de una orden de relación cuya restricción a $\Bbb Q$ es sólo el estándar de fin de la relación en $\Bbb Q$. Considerar las funciones $\varphi_1,\varphi_2:\Bbb Q(\alpha)\to\Bbb R$ dada por $$\varphi_1(p+q\alpha)=p+q\sqrt{2}\quad\text{and}\quad\varphi_2(p+q\alpha)=p-q\sqrt{2},$$ where $p,q$ range over $\Bbb Q$. Estos son inyectiva campo homomorphisms, como se puede comprobar.

Podemos inducir relaciones de orden $<_1$ $<_2$ $\Bbb Q(\alpha)$ de la norma de orden $<$$\Bbb R$, diciendo:$$x<_jy\Leftrightarrow\varphi_j(x)<\varphi_j(y)$$ for $ j=1,2.$ Now, $\Bbb P(\alpha)$ is an ordered field with the standard operations under both $<_1$ and $<_2$, and these orders are not the same. However, for any rational $p,q$, we have $p<_jq$ if and only if $p<q$ ($j=1,2$), por lo que estos pedidos "actúan de la misma" en los racionales.

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Resultado: Usted puede poner cualquiera de las $1<\alpha<2$ o $1<-\alpha<2$. Lleve a su selección.

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Como para $\Bbb Q(i)$, no podemos incrustar en $\Bbb R$ de esta manera, ya que allí no es cualquier número real cuyo cuadrado es $-1$. Podemos, ciertamente, el fin de $\Bbb Q(i)$ en cualquier número de maneras, pero tal pedido nunca harán $\Bbb Q(i)$ en un orden de campo con las operaciones habituales.

Answer 3

Creo que puede haber múltiples respuestas adecuadas (lo obvio, pero probablemente no sea útil, un ser simplemente "un orden del campo"). Para dar una respuesta satisfactoria, me gustaría responder que la construcción adicional que usted necesita para hacer "la comparación de las declaraciones" en un campo de $L$ es: una especificado ordenó campo $K$ junto con un mapa especificado $f:L\to K$.

Si el orden de $K$ se denota con "$<$", entonces usted podría definir un orden "$\prec$ " $L$ declara que, dado que los elementos de $\alpha,\beta\in L$, $\alpha\prec\beta$ si y sólo si $f(a)<f(b)$.

Answer 4

Las respuestas hasta el momento ya se han explicado todo el tema, pero aquí es una observación complementaria:

Aunque no podemos distinguir $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ en el idioma de los campos, se puede hacerlo en $\mathbb{R}$ (de hecho, ya en $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ con el mismo argumento). De hecho, el fin de la relación en $\mathbb{R}$ puede ser definida por medio de la estructura de campo desde $x \geq 0 \Leftrightarrow \exists y (x=y^2)$.

Esta observación también implica que la única anillo endomorfismo de $\mathbb{R}$ es la identidad, que no es el caso de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Cada endomorfismo de un campo se puede utilizar para girar una arbitraria de pedido para obtener un potencial de uno nuevo, pero para $\mathbb{R}$ el pedido es único.