Estoy leyendo la geometría riemanniana de Petersen. Él utiliza la función de distancia para establecer tres ecuaciones.
1. $L_{\partial_{r}} g=2 \operatorname{Hess} r$
2. $\left(\nabla_{\partial_{r}} \operatorname{Hess} r\right)(X, Y)+\operatorname{Hess}^{2} r(X, Y)=-R\left(X, \partial_{r}, \partial_{r}, Y\right)$
3. $\left(L_{\partial_{r}} \operatorname{Hess} r\right)(X, Y)-\operatorname{Hess}^{2} r(X, Y)=-R\left(X, \partial_{r}, \partial_{r}, Y\right)$
Luego dice
si suponemos que la curvatura está acotada, entonces la ecuación (2) nos dice que, si el hessiano se infla, entonces debe ser decreciente a medida que aumenta r, por lo que sólo puede ir a $-\infty$ :
No estoy seguro de lo que significa "explotar" aquí, y no puedo entender por qué esto implica que Hessian está disminuyendo.
También dice
Un punto conjugado se produce cuando el hessiano de r se vuelve indefinido cuando resolvemos la ecuación diferencial para él.
No puedo imaginar cuándo y por qué el hessiano de r se vuelve indefinido.
Otros lugares de esta sección también son difíciles de entender, ya que sólo hay una explicación literal sin ejemplos ni cálculos.
Cualquier ayuda será agradecida.
