¿Por qué el método de los elementos finitos utiliza espacios de Sobolev?

Question

Me pregunto por qué el método de elementos finitos utiliza espacios de Sobolev.

Así lo he entendido yo:

Existe una formulación débil del método de elementos finitos que implica que podemos utilizar el m.e.f. para funciones que tienen una derivada débil. Los espacios de Sobolev incluyen las funciones que tienen una derivada débil.

¿Lo he entendido bien?

Answer 1

Sí, su comprensión parece ser correcta. Hay varias razones para que el método de elementos finitos utilice espacios de Sobolev. Daré algunas aquí (puede que haya olvidado alguna):

Cuando se trabaja con problemas prácticos de EDP, normalmente hay que tener en cuenta las discontinuidades tanto en los coeficientes de la EDP, por ejemplo, representando las propiedades de los materiales que pueden tener saltos, como en las condiciones de contorno. La forma fuerte de una EDP no permite esto, ya que normalmente requiere que la solución sea dos veces diferenciable. Cuando se formula el problema de la EDP como una ecuación de forma débil (integral) se evita esto mediante la integración parcial, que elimina la segunda derivada, pero entonces también, ya que se permiten las funciones y sus primeras derivadas dentro del signo integral, permite soluciones débiles y derivadas débiles de primer orden (típicamente).

Además, se desea obtener estimaciones de error analíticas, por ejemplo para poder utilizar el mallado adaptativo con estimaciones de error. Las normas de Sobolev, que dan la noción del tamaño simultáneo de la solución y de las derivadas de la solución débil de la EDP, lo permiten.

Una solución que vive en un espacio de Sobolev https://en.wikipedia.org/wiki/Sobolev_space proporciona una solución "suficientemente suave", pero no tan suave como para no poder abordar problemas del mundo real con elementos finitos, de nuevo, que pueden tener discontinuidades.

Por supuesto, se puede decir mucho más sobre esto.