¿Dónde está la "relación" aquí?

Question

Si nos fijamos en la definición de monoide dice que:

Un monoide es un conjunto cerrado bajo una operación binaria asociativa y tiene un elemento de identidad $I \in S$ tal que para todo $a \in S$ , $I a = a I =a$

Pero, ¿qué hace $I a$ ¿se refiere a esto? Quiero decir que es un elemento del conjunto, seguido de un espacio y otro elemento del conjunto. ¿Esto es asumido que esto significa una función binaria de algún tipo?

Quiero decir que cuando escribo $0+x$ No escribo $0\ x$ ...

Gracias, se agradece cualquier ayuda para entender esto.

Answer 1

Yo diría que lo confuso de la definición anterior es que no aclara que la operación binaria forma parte del monoide, sólo afirma la existencia de la operación sobre el conjunto. Por ejemplo, la definición anterior haría que $\mathbb N$ un monoide porque existe una operación binaria asociativa bla, bla, bla. Pero hay muchas operaciones binarias asociativas en $\mathbb N$ .

En realidad debería decir: "Un monoide es un par $(M,\star)$ donde $M$ es un conjunto y $\star$ es una operación binaria asociativa $\star:M\times M\rightarrow M$ , tal que existe un $i\in M$ estática $i\star m = m\star i = m$ para todos $m\in M$ .

En particular, cuando la definición anterior dice: $Ia=aI=a$ que es la abreviatura de la operación $I\star a = a\star I = a$ .

Ah, y la única razón por la que tendemos a escribir los monoides en una "forma multiplicativa", en lugar de algo más parecido a la suma, es que la suma, en casi todos los casos, es conmutativa: $a+b=b+a$ . Pero la multiplicación en muchos casos no lo es: por ejemplo, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Así que solemos pensar en la operación monoide como si fuera "como" la multiplicación.

Answer 2

No importa si se utiliza la notación aditiva " $+$ " o la notación multiplicativa " $\cdot$ "para denotar la operación de grupo (o en este caso: monoide). La notación $Ia$ realmente es la versión perezosa de escribir $I \cdot a$ .

Pero también se podría escribir $I + a$ . Véase, por ejemplo aquí para las convenciones notacionales de los grupos abelianos.

Answer 3

Tal vez sea útil ver algunos ejemplos habituales.

• El conjunto de números naturales que incluye $0$ junto con la adición, forma un monoide: la operación binaria es $\lambda (a,b).a\!+\!b$ y el elemento de identidad es $0$ , para $$a+0 = 0+a = a.$$ En Haskell, esto se traduce en el Sum instancia de Monoid avec mempty = Sum 0 y mappend a b = Sum (getSum a + getSum b) .
• El mismo conjunto, con la multiplicación como relación y $1$ como la identidad. En este caso, es habitual en matemáticas omitir simplemente el signo de multiplicación, $$ a\cdot 1 = 1\cdot a = 1a = a. $$ En Haskell, mempty = Product 1 y mappend a b = Product (getProduct a * getProduct b) .
• El conjunto de matrices en, por ejemplo $\mathbb{R}^2$ junto con la multiplicación de matrices. Aquí, la identidad es $(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix})$, $$ (\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix})\cdot (\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix})\cdot(\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}) $$
• El conjunto de listas de letras junto con la concatenación de listas. La identidad es la lista vacía. Esto es poco matemático, volveré a omitir la escritura explícita del operador binario o la "promoción" de caracteres a listas de un solo elemento y lo escribiré así: $$ {{}''}\mathrm{Word} = \mathrm{Word}'' = \mathrm{Word} $$ (y también $ = \mathrm{W{{}''}ord} = \mathrm{Wor{{}''}d} = \mathrm{{{}''}Wo{{}''}r{{}''}{{}''}{{}''}{{}''}d}$ .) En Haskell, es el más general [] instancia de Monoid con mempty=[] (es decir, para las cadenas, mempty="" ) y mappend a b = a++b .