Una sencilla propiedad de la norma de un entero ciclotómico

Question

Dejemos que $l$ sea un número primo impar y $\zeta$ sea una primitiva $l$ -raíz de la unidad en $\mathbb{C}$ . Sea $\mathbb{Q}(\zeta)$ sea el campo ciclotómico. Sea $A$ sea el anillo de enteros algebraicos de $\mathbb{Q}(\zeta)$ . Sea $\alpha \in A$ . Sea $N(\alpha)$ sea la norma de $\alpha$ .

Mi pregunta: ¿Cómo podemos probar que $N(\alpha) \equiv 0$ o $\equiv 1$ (mod $l$ )?

Answer 1

Observe que $\zeta^n-\zeta\in (1-\zeta)$ si $l$ no divide $n$ . Esto implica que todos los conjugados de $\alpha$ son congruentes mod $(1-\zeta)$ Por lo tanto $N\alpha\equiv \alpha^{l-1}$ mod $(1-\zeta)$ . Desde $A/(1-\zeta)\cong\mathbb{F}_l$ tenemos $N\alpha\equiv0$ o $\equiv1$ mod $l$ .