No puedo entender la solución al enigma de los comerciantes de vino.

Question

La esencia del acertijo es la siguiente: Considera un barril con 100 pintas de vino. Si sacas una pinta de vino de este barril y añades una pinta de agua al barril, ¿cuántas pintas de vino hay en el barril?

En este punto la respuesta es obviamente 99.

Pero si haces esto las 30 veces y cada vez que sacas una pinta de líquido del barril le añades una pinta de agua entonces, ¿cuántas pintas de vino quedan en el barril?

La respuesta dice : $\frac {99^{30}}{100^{29}}$

No entiendo por qué esto nos da la solución.

Enlace al acertijo : http://www.mathpuzzle.ca/Puzzle/The-Riddle-Of-The-Cellarer.html

Edición : Accidentalmente escribí la respuesta para la cantidad de agua en el barril, es decir( $100 - \frac {99^{30}}{100^{29}}$ ). Se ha fijado en la cantidad de vino.

Answer 1

Dejemos que $x_n$ sea el número de pintas en el barril después de $n$ días. Definir $x_0=100$ .

Después del primer día, $x_1=99$ como usted ha señalado.

En general, cuando el bodeguero toma una "pinta" de vino en el $n$ día, la verdadera cantidad de vino en esta pinta será $$\frac{1}{100}x_{n-1},$$ para que la cantidad de vino que queda en el barril sea $$x_{n-1}-\frac{1}{100}x_{n-1}=\frac{99}{100}x_{n-1}.$$

¿Por qué? Al principio del día, el número de pintas en el barril es $x_{n-1}$ por definición. Cuando el bodeguero toma una "pinta", en realidad está diluida, por lo que la cantidad real tomada es $\frac{1}{100}x_{n-1}$ . Sólo estamos dividiendo la cantidad de vino en el barril por 100.

Si se amplía esta relación de recurrencia, se puede ver fácilmente que la forma de $x_n$ es $$x_n = \frac{99^n}{100^{n-1}}.$$

Answer 2

En cada paso, se elimina $\frac{1}{100}$ del barril y sustituirlo por agua. Así que si hay $N$ pintas de vino en el barril, se remueve $\frac{N}{100}$ pintas de vino y sustituirlo por agua, por lo que hay $\frac{99N}{100}$ pintas de vino restantes. Así que la cantidad comienza con 100 pintas, lo que se convierte en $\frac{99 \cdot 100}{100}$ que se convierte en $\frac{99^2 \cdot 100}{100^2}$ que se convierte en ..., que se convierte en $\frac{99^{30} \cdot 100}{100^{30}} = \frac{99^{30}}{100^{29}}$ . En general, después de $n$ mudanzas, tiene $\frac{99^n}{100^{n-1}}$ pintas restantes.