$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^{2012}{x}}{\left(1+ \alpha^x\right)\left(\sin^{2012} {x}+\cos^{2012}{x}\right)}\;{dx} $

Question

Para $\alpha\in\mathbb{R^+}$, evaluar

$$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^{2012}{x}}{\left(1+ \alpha^x\right)\left(\sin^{2012} {x}+\cos^{2012}{x}\right)}\;{dx} $$

¿Puedo hacer una sugerencia sobre esto? Traté de sustituir $x=-t$ pero no consiguió nada.

Answer 1

Reescribir como

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{1+e^{b x}} \frac1{1+\cot^{2012}{x}}$$

donde $b=\log{\alpha}$. Esta integral es igual a

$$\underbrace{\int_{-\pi/2}^0 \frac{dx}{1+e^{b x}} \frac1{1+\cot^{2012}{x}}}_{x \mapsto -x} + \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+e^{b x}} \frac1{1+\cot^{2012}{x}}$$

o

$$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+\cot^{2012}{x}}\underbrace{\left (\frac1{1+e^{b x}} + \frac1{1+e^{-b x}} \right )}_{\text{this is} = 1} = \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+\cot^{2012}{x}}$$

o

$$\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+\tan^{2012}{x}}$$

que por este resultado, es $\pi/4$.

Answer 2

Una no solución exacta (pero muy muy cerca) puede obtenerse consultando en: $$g(x)=\frac{\sin^{2012} x}{\sin^{2012} x+ \cos^{2012} x}$$ Para todos los propósitos prácticos, $g(x)$ puede ser aproximada por: $$g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if } |x| > \pi/4 \\ 0 & \mbox{if } |x| < \pi/4 \end{array} \right.$$ Esto significa que la integral se obtiene se reducía a: $$\int\frac{dx}{1+\alpha^x} = x - \frac{\log(1 + \alpha^x)}{\log \alpha} $$ En el nuevo intervalos, que es igual a: $$\pi/4$$ for every value $\alfa>0$.