¿Explicación del lema 2.34 en "Topología algebraica" de Hatcher?

Question

En esta demostración del Lemma 2.34 de Topología algebraica No entiendo 2 cosas.

$(1)$ Hatcher define $Y_i:=T\cup (X\times[i,\infty])$ entonces creo que es obvio el hecho de que $Y_i$ deformación se retrae en $Y_{i+1}$ , ya que $[i,\infty]$ deformación se retrae en $[i+1,\infty]$ .

$(2)$ Con las retractaciones de $Y_i$ en $Y_{i+1}$ cómo puedo obtener una deformación retraída de $X\times [0,\infty)$ en $T$ ?

Answer 1

Con respecto a (1), no podemos esperar simplemente una retracción de la deformación de $X\times \lbrack i,\infty )$ à $X\times \lbrack i+1,\infty )$ para extenderse a una retracción de la deformación del espacio mayor $T\cup X\times\lbrack i,\infty )$ . Por ejemplo, $S^1$ es la unión de sus hemisferios norte y sur (cerrados). La deformación de ambos hemisferios se retrae hasta un punto, pero no hay retracción de la deformación de $T$ que, por ejemplo, es la identidad en el hemisferio sur mientras se deforma el hemisferio norte en un punto.

En cuanto a (2), se trata de comprimir cada $Y_i$ en intervalos de tiempo cada vez más cortos. La homotopía resultante está bien definida y es continua, esencialmente debido al "lema de pegado" de la topología elemental de conjuntos de puntos; los intervalos $\lbrack 1 - 1/2^i, 1 - 1/2^{i+1}\rbrack$ forman una cubierta cerrada del intervalo unitario y las homotopías parciales coinciden en las intersecciones $\lbrace 1/2^i\rbrace$ por la construcción. Esto nos permite comprimir eventualmente cada $Y_i$ (esto no es más raro que Aquiles alcanzando a la tortuga).