Ayuda para la integral de línea (cálculo vectorial)

Question

Actualmente estoy revisando un módulo de matemáticas que estoy cursando como parte de mi carrera de física. Me examino mañana y me siento bastante seguro aunque al intentar esta integral de líneas me quedé en blanco.

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$$ S = \frac{1}{2} \oint_C \vec{r} \times d\vec{r} $$ Evalúe esta integral de línea para una partícula que se mueve una vez en sentido antihorario alrededor de un círculo unitario C en el plano x-y definido por la ecuación $ x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ .

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Supongo que mi principal problema para responder a esta pregunta es qué límites utilizar ya que la línea empieza y termina en el mismo punto. Normalmente parametrizaría un sistema como este pero no estoy teniendo suerte.

Aunque esta pregunta parece algo básica, mi mente cansada y agotada es incapaz de resolverla. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias, Sean.

Answer 1

¡Gracias a Marra por su ayuda! Para quien esté interesado esto es lo que respondí al final:

$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ es una esfera uniforme. Se cruza con la $x-y$ plano en forma de círculo uniforme de radio $a$ y la ecuación $x^2 + y^2 = a^2$ . $$ Let:~\vec{r} = (a\cos{t},~a\sin{t},~0) ~ [From ~t=0~to~t=2\pi]\\\Rightarrow \frac{d\vec{r}}{dt} = (-a\sin{t},~a\cos{t},~0)\\\Rightarrow S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt}dt\\\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt} = (0,~0,~a^2)\\\Rightarrow~S=\frac{1}{2}.(0,~0,~a^2).\int_0^{2\pi} dt = \frac{1}{2}.(0,~0,~a^2).2\pi = (0,~0,~\pi a^2) $$ Esta es la respuesta esperada ya que el área de un círculo es $\pi r^2$ .

Por favor, corríjanme si he cometido algún error. Gracias, Sean.