Aplicaciones de los esquemas a la física matemática

Question

¿Podría alguien citar algunas aplicaciones o desarrollos en física matemática o teoría de cuerdas que utilicen esquemas?

Me resulta curioso el hecho de que mientras cosas como la geometría algebraica derivada y los apilamientos tienen ciertas aplicaciones a la física matemática, no puedo encontrar tales aplicaciones para el caso de los esquemas (no derivados).

Sólo para aclarar: sé que, por ejemplo, se pueden tener trípticos de Calabi-Yau que son variedades algebraicas proyectivas y que, en cierto sentido, las variedades algebraicas ⊂ esquemas ⊂ pilas. Sin embargo, estoy buscando construcciones de esquemas específicos (subderivados) como esquemas de Fano, esquemas de Hilbert, intersecciones teóricas de esquemas, etc.

Answer 1

El esquema de Hilbert de los puntos de una superficie K3 desempeña un papel importante a la hora de proporcionar una prueba de acoplamiento fuerte de la dualidad S por Vafa y Witten. Este es el documento original de lo que se conoce como teoría Vafa-Witten.

Answer 2

Dada la escasez de respuestas a esta pregunta, ofreceré algunas de mis trabajo ya que proporciona una respuesta a esta pregunta de la siguiente manera:

1. Las fases topológicas de la materia se describen mediante teorías cuánticas de campo topológicas, y los modelos hamiltonianos de las mismas pueden construirse utilizando String-Nets.
2. El Hamiltoniano de la Red de Cuerdas toma como una de sus entradas una categoría de fusión esférica, y en particular la información aritmética asociada a esta categoría de fusión.
3. Dicha información aritmética se obtiene a partir de las soluciones de las ecuaciones polinómicas (llamadas ecuaciones pentagonales, pivotales y hexagonales) que, por supuesto, definen un conjunto algebraico y, por tanto, un esquema.

En cuanto a cómo se utiliza, considere lo siguiente:

Uno de los problemas al estudiar tanto las categorías de fusión como las fases topológicas es su clasificación. En particular, si uno tiene dos conjuntos de soluciones a un conjunto de ecuaciones pentagonales, ¿cómo sabemos que corresponden a categorías monoidales no equivalentes? Pues bien, es bastante sencillo demostrar que las soluciones equivalentes corresponden a órbitas de la acción de un grupo algebraico, concretamente el grupo gauge de la categoría de fusión, sobre el conjunto algebraico.

Entonces, ¿cómo distinguimos las órbitas? Mediante algunos argumentos sencillos, estas órbitas son cerradas y hay un número finito de ellas, por lo que resulta que todas tienen la misma dimensión. Poniendo todo esto en el lenguaje de los esquemas, tenemos un conjunto de condiciones suficientes para invocar los teoremas 1.1 y 1.3 de la "Teoría geométrica de invariantes" de Mumford para demostrar que existen funciones racionales invariantes de calibre que distinguen cada órbita de la otra. Esto puede repetirse aplicándolo al grupo de automorfismo del anillo de Grothendieck subyacente, de modo que uno termina con un conjunto algebraico de 0 dimensiones donde cada punto corresponde a una clase monoidal de categorías de fusión.

Aunque el lenguaje de los esquemas es, en general, excesivo para obtener este resultado, es cierto que las categorías de fusión se clasifican por los puntos de sus espacios de moduli asociados.