Quiero simplificar la siguiente expresión. Básicamente necesito eliminar la suma hasta $t$
$$\sum_{k=j}^t \binom{k-1}{j-1} p^{k-j} q^j$$
donde $p=1-q$ , $t$ es un número finito grande como $10^{15}$ , $k\geq j$ , $2\leq j\leq 50$ .
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metamorphy
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No hay una forma cerrada con respecto a ambos $t$ y $j$ pero por una cantidad fija de $j$ puede utilizar $$\sum_{k=j}^{t}\binom{k-1}{j-1}x^{k-j}=\frac{1}{(j-1)!}\frac{d^{j-1}}{dx^{j-1}}\frac{1-x^t}{1-x},$$ dando una suma de sólo $\,\approx\!j$ términos después de aplicar el regla del producto . Otro enfoque es considerar el $t\to\infty$ asintótica de su expresión, asumiendo $q=q(t)$ es conocido.
En primer lugar, observamos: $$ {d^j \over dx^j}\frac{x^k}{1-x}=j!\sum_{i=0}^j\binom ki\frac{x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+1}}.\tag1 $$
Entonces tenemos para $j\ge1$ : $$\begin{align} \sum_{k=j}^n\binom{k-1}{j-1} p^{k-j}q^{j} &=\frac{q^j}{(j-1)!}\sum_{k=j}^n{d^{j-1} \over dp^{j-1}}p^{k-1}\\ &=\frac{q^j}{(j-1)!}{d^{j-1} \over dp^{j-1}}\sum_{k=j}^np^{k-1}\\ &=\frac{q^j}{(j-1)!}{d^{j-1} \over dp^{j-1}}\frac{p^{j-1}-p^{n}}{1-p}\\ &\stackrel{(1)}=q^j\sum_{i=0}^{j-1}\frac{\binom{j-1}ip^{j-1-i}-\binom{K}ip^{n-i}}{q^{j-i}}\\ &= p^{j-1}\sum_{i=0}^{j-1}\binom{j-1}i\left(\frac qp\right)^i -p^{n}\sum_{i=0}^{j-1}\binom{n}i\left(\frac qp\right)^i\\ &=1-\sum_{i=0}^{j-1}\binom{n}i p^{n-i}q^i.\tag2 \end{align}$$
Así, para obtener el mismo resultado se puede calcular mediante (2) una suma mucho más corta (según $j\le50$ ).
Una sencilla prueba combinatoria de la identidad: $$ \sum_{i=k}^{n}\binom{i-1}{k-1} p^{k}q^{i-k}=1-\sum_{i=0}^{k-1}\binom{n}{i}p^{i}q^{n-i} $$ se puede encontrar aquí .
Anexo . Prueba de la ecuación (1) por inducción.
Obviamente, la ecuación es válida para $j=0$ . Supongamos que se mantiene para algunos $j$ . Entonces se mantiene para $j+1$ también: $$\begin{align} {d^{j+1} \over dx^{j+1}}\frac{x^k}{1-x}&=\frac d{dx}\left[{d^{j} \over dx^{j}}\frac{x^k}{1-x}\right]\\ &\stackrel{I.H.}=\frac d{dx}\left[j!\sum_{i=0}^j\binom ki\frac{x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+1}}\right]\\ &=j!\sum_{i=0}^j\binom ki \left[\frac{(k-i)x^{k-i-1}}{(1-x)^{j-i+1}} +\frac{(j-i+1)x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+2}} \right]\\ &=j!\sum_{i=0}^j\left[\binom k{i+1}\frac{(i+1)x^{k-i-1}}{(1-x)^{j-i+1}} +\binom k{i}\frac{(j-i+1)x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+2}} \right]\\ &=j!\left[\sum_{i=1}^{j+1}\binom k{i} \frac{i\,x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+2}} +\sum_{i=0}^{j}\binom k{i}\frac{(j-i+1)x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+2}} \right]\\ &=j!\left[\sum_{i=0}^{j+1}\binom k{i} \frac{i\,x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+2}} +\sum_{i=0}^{j+1}\binom k{i}\frac{(j-i+1)x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+2}} \right]\\ &=(j+1)! \sum_{i=0}^{j+1}\binom k{i}\frac{x^{k-i}}{(1-x)^{j-i+2}}. \end{align}$$
