Aproximar el área por debajo de la media de una función cóncava

Question

Dado un no-decreciente, cóncava función de $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^+$. Definir

\begin{align*} F(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n \min\left\{\frac{1}{n},\frac{f\left(\frac{i}{n+1}\right)}{n+1}\right\} \end{align*}

Queremos encontrar un estrecho límite inferior de $F(n)$ en términos de $n$, sabiendo que el $\int_0^{1} f(x) dx =1 $.

Por ejemplo, yo soy capaz de demostrar que $F(1)\geq \frac{1}{2}$, $F(2)\geq \frac{2}{3}$, $F(3)\geq \frac{1}{3}+\frac{3}{8}$ y ver que son muy ajustado para la función de $f(x)=2x$. También, puedo demostrar que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} F(n) \geq 3/4$, y vuelve a observar que es muy ajustado para la función de $f(x)=2x$. Gracias por su tiempo y atención!

Answer 1

$f(x)$ es no decreciente. Por $n$, dividir el rango de la suma en $n^*$, donde $$ \frac{f(n^* / (n + 1))}{n + 1} = \frac{1}{n} $$ Entonces la suma es: $$ F(n) = \frac{1}{n + 1} \sum_{1 \le i \le n^*} f(i / (n + 1)) + (n - n^*) / n $$ Queremos minimizar esto, y esto significa mantener tanto en el primer rango (que recoge los valores pequeños) como podemos. Por la relación con la definición de $n^*$ vemos que es suficiente para asegurarse de que $f(x) < \frac{n + 1}{n}$ a ha $n^* = n$ todos los $n$. Por la condición de que $\int_0^1 f(x) dx = 1$, esto significa $f(x) = 1$, y la suma es sólo $F(n) = \frac{n}{n + 1}$.