Ecuación diofantina $(x^2-1)^2-4y^2=0$

Question

Tenemos la ecuación diofantina $(x^2-1)^2-4y^2=0$ , donde $x$ y $y$ son enteros positivos. ¿Es la única solución $x=1$ , $y=0$ ¿o puede haber infinitas soluciones?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\begin{align}(x^2-1)^2-4y^2=0&\iff (x^2-1-2y)(x^2-1+2y)=0\\&\iff x^2-1-2y=0\ \ \text{or}\ \ x^2-1+2y=0.\end{align}$$

Por lo tanto, teniendo en cuenta $x^2-1-2y=0\iff x^2-1=2y$ nos da, por ejemplo, $$(x,y)=(2a+1,2a^2+2a)$$ para números enteros positivos $a$ .

Por lo tanto, sabemos que hay infinitas soluciones.