Propiedades de los duales de $\ell^1$ y $\ell^{\infty}$

Question

A) Verdadero o falso:
(i) $(\ell^{1})^* = \ell^{\infty}$
(ii) $\ell^1 \subset (\ell^\infty)^*$
(iii) $(\ell^\infty)^* \subset \ell^1$
(iv) $(\ell^1)^{**} \subset \ell^1$

b) Dar el conjunto de vectores duales $j(x) \subset (\ell^1)'$ cuando $x=(1,1,0,0,0,...) \in \ell^1$ .

He encontrado este ejercicio de un antiguo examen y parece un problema básico, que probablemente debería poder resolver. Sin embargo, dado que parece que no entiendo del todo la dualidad, he estado luchando con esto durante un tiempo.
En cuanto a la parte (i) estoy bastante seguro de que es cierta y también he encontrado algo de ayuda para eso en otro sitio, pero las otras partes no me quedan nada claras.

Answer 1

(i) es verdadera, y es un caso especial de $\ell_p^* = \ell_{p/(p-1)}$ para $1\le p<\infty$ . (Yo prefiero $p$ como subíndice, donde no estorba el asterisco).

(ii) es un caso especial de un hecho general: un espacio normado se incrusta isométricamente en su segundo dual. En una fórmula, $\iota:X\to X^{**}$ es una incrustación isométrica, donde $\iota(x)$ es un funcional sobre $X^*$ que actúa evaluando los elementos de $X^*$ en $x$ .

(iii) y (iv) son falsos. En ambos casos, el espacio de la izquierda es el dual de $\ell^\infty$ . Desde $\ell^1$ no es reflexivo, este dual es estrictamente mayor que $\ell^1$ . También se puede observar que el dual de un espacio no separable no es separable.

Answer 2

Lo que quieres es sólo el doble de $\ell^\infty$ . De hecho, $(\ell^\infty)*=(\ell^1\times (c_0)^\circ)_1$ . Véase la referencia "Richard Holmes, Geometric functional analysis and its application" página 129